Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

Universidade Federal Fluminense – Cálculo IIA – Lista GMA 2 – Exercício 29

Resolva o problema de valor inicial:

f ' x = 1 - sen 2 x sen 2 x f π 2 = 0

Passo 1

Podemos escrever f ' x como:

f ' x = y ' = d y d x = 1 - sen 2 x sen 2 x

Levando a:

d y d x = 1 - sen 2 x sen 2 x f π 2 = 0

Primeiramente, vamos isolar cada infinitesimal:

d y d x = 1 - sen 2 x sen 2 x d y = 1 - sen 2 x sen 2 x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como queremos y e temos y ' , vamos integrar dos dois lados: d y = 1 - sen 2 x sen 2 x d x

A integral da esquerda fica: d y = y + C 1

Para a integral da direita, podemos escrever: 1 - sen 2 x = cos 2 x = 1 + cos 2 x 2

Ficando com: 1 - sen 2 x sen 2 x d x = 1 2 1 + cos 2 x sen 2 x d x =

1 2 sen 2 x d x + 1 2 cos 2 x sen 2 x d x

Para a primeira integral, fazemos a substituição u = 2 x , levando a d u = 2 d x e:

1 2 sen 2 x d x = 1 4 sen u d u = - 1 4 cos u + C 2 = - 1 4 cos 2 x + C 2

Para a segunda, fazemos a substituição w = sen 2 x , levando a d w = 2 cos 2 x d x e:

1 2 cos 2 x sen 2 x d x = 1 4 w d w = 1 8 w 2 + C 3 = 1 8 sen 2 2 x + C 3

Logo: 1 - sen 2 x sen 2 x d x = - 1 4 cos 2 x + 1 8 sen 2 2 x + C 2 + C 3

Passo 3

Agora, substituímos tudo na equação: d y = 1 - sen 2 x sen 2 x d x

y + C 1 = - 1 4 cos 2 x + 1 8 sen 2 2 x + C 2 + C 3

Isolando y e considerando C = C 2 + C 3 - C 1 : y = - 1 4 cos 2 x + 1 8 sen 2 2 x + C 2 + C 3 - C 1 =

y = - 1 4 cos 2 x + 1 8 sen 2 2 x + C

Passo 4

Para achar C , usamos a segunda informação do problema: f π 2 = y π 2 = 0

Substituindo: y π 2 = - 1 4 cos 2 π 2 + 1 8 sen 2 2 π 2 + C =

- 1 4 cos π + 1 8 sen 2 π + C = 1 4 + C = 0

C = - 1 4

Com isso, substituímos o valor de C para finalizar o problema:

y = - 1 4 cos 2 x + 1 8 sen 2 2 x - 1 4

Resposta

y = - 1 4 cos 2 x + 1 8 sen 2 2 x - 1 4

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