Exercícios Resolvidos de Integrais e Problema de Valor Inicial

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Enunciado

Seja f : I R → I R uma função tal que f ' ' x = 3 x 2 - 4 x + 2 para todo x ∈ I R . Sabendo que 1,2 é um ponto de máximo local do gráfico da função f , determine:

  1. A expressão de f ' (a derivada de f )
  2. A expressão da função f

Passo 1

Vamos lá. A questão ta querendo que a gente ache a primeira derivada na letra a e dá pra gente a segunda. Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que:

f ' x = ∫ f ' ' x d x

Então é isso aí galera, vamos ter que integrar. A primeira derivada fica então como a seguinte integral:

f ' x = ∫ 3 x 2 - 4 x + 2   d x

Dá regra:

∫ x a d x = x a + 1 a + 1 + C   ; s e   a ≠ - 1

Tiramos que essa integral dá:

f ' x = 3 x 3 3 - 4 x 2 2 + 2 x + C = x 3 - 2 x 2 + 2 x + C

Opa, mas e esse C aí, quem vai ser? Bem, pra gente responder, temos que olhar com cuidado pra uma informação do enunciado: o ponto 1,2 ! Se esse ponto é um ponto de máximo, então ele é um ponto crítico! E em pontos críticos, temos:

f ' x = 0

Sendo assim, vamos ter:

f ' 1 = 0

O que dá:

f ' 1 = 1 3 - 2 . 1 2 + 2.1 + C = 0

1 - 2 + 2 + C = 0

C = - 1

A expressão final da primeira derivada vai ser então:

f ' x = x 3 - 2 x 2 + 2 x - 1

Passo 2

Agora vamos pra próxima letra, que pede dessa vez o gráfico de f . A ideia é a mesma galera, veja bem, pelo teorema fundamental do cálculo:

f x = ∫ f ' x d x

Então a função f x vai ser definida pela integral:

f x = ∫ x 3 - 2 x 2 + 2 x - 1 d x

Usando a mesma regra:

∫ x a d x = x a + 1 a + 1 + C   ; s e   a ≠ - 1

Ficamos com:

f x = x 4 4 - 2 x 3 3 + x 2 - x + D

E vai faltar só achar o D agora, que é outra constante de integração. Bem, como o enunciado diz que o ponto 1,2 é um ponto da curva, vamos ter então:

f 1 = 2

Oras, só substituir! Vamo que vamo que depois é só partir pro abraço:

f 1 = 1 4 4 - 2 . 1 3 3 + 1 2 - 1 + D = 2

1 4 - 2 3 + D = 2

D = 2 - 1 4 + 2 3

D = 24 12 - 3 12 + 8 12 = 29 12

A expressão final de f x vai ser então:

f x = x 4 4 - 2 x 3 3 + x 2 - x + 29 12

Resposta

  1. f ' x = x 3 - 2 x 2 + 2 x - 1
  2. f x = x 4 4 - 2 x 3 3 + x 2 - x + 29 12

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