Exercícios Resolvidos de Introdução à Estatística

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Enunciado

Os cursos de Engenharia de Alimentos, Engenharia Naval e Engenharia de Minas têm as seguintes porcentagens de rapazes, respectivamente: 40 % ,   20 % e 10 % . Um desses três cursos é selecionado ao acaso e oito alunos são escolhidos, com reposição. Se o resultado for R R R M M M M M ( R para rapaz e M para moça):

a) Qual a probabilidade de ocorrer Y = { R R R M M M M M } dado que vem de Engenharia de Alimentos? Qual a probabilidade de ocorrer Y dado que vem de Engenharia Naval? Qual a probabilidade de ocorrer Y dado que vem de Engenharia de Minas?

b) Qual é a probabilidade de ter sido selecionado “Engenharia de Minas”?

Passo 1

Oooii gente, tudo na paz por aí?

Essa questão fala sobre a porcentagem de rapazes e mulheres em 3 cursos de Engenharia: de Alimentos, Naval e de Minas.

Então, em cada um desses cursos, é realizado um sorteio para selecionar um aluno aleatoriamente e verificar se é rapaz ou mulher. Depois de verificado, o aluno sorteado volta para o grupo (com reposição) e repete-se o procedimento 8 vezes.

No item a), precisamos determinar a probabilidade desses 8   alunos serem do tipo:

R R R M M M M M

Tranquilo até aqui?

Pois então, pra calcular essas probabilidades, como o sorteio é com reposição, podemos calcular a probabilidade de ocorrer o resultado de cada um dos sorteios realizados, e então multiplicá-los.

Sacou a ideia? Bora lá 😊

Passo 2

Então galera, a nossa sequência de resultados é:

R R R M M M M M

Beleza!

Vamos chamar de p a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso ser um rapaz, e 1 - p a probabilidade desse aluno ser uma mulher.

Para o primeiro sorteio, por exemplo, a probabilidade do resultado ser rapaz é p . O mesmo vale para o segundo e terceiro sorteios. Já para os 5 sorteios seguintes, a probabilidade do resultado ser mulher vale ( 1 - p ) . Multiplicando essas probabilidades, temos:

P = p 3 ⋅ 1 - p 5

Massa! Vamos investigar agora para cada um dos cursos:

- Engenharia de Alimentos:

Aqui, temos uma porcentagem de 40 % de rapazes. Ou seja:

p = 0,4

Substituindo na expressão que encontramos, temos:

P A = 0,4 3 ⋅ 0,6 5

= 0,005

- Engenharia Naval:

A porcentagem de rapazes é de 20 % ( p = 0,2 ) . Logo:

P N = 0,2 3 ⋅ 0,8 5

= 0,003

- Engenharia de Minas:

Por fim, aqui a porcentagem de rapazes é de 10 %   ( p = 0,1 ) . Assim:

P M = 0,1 3 ⋅ 0 , 9 5

= 0,0006  

Prontinho! A primeira parte já foi.

Passo 3

Agora vamos pro item b).

Imagina que já sabemos que o resultado de fato é:

R R R M M M M M

Queremos saber então, dado que esse é o resultado, qual a probabilidade dele ser referente ao curso de Engenharia de Minas.

Então, sabemos que dado que esse é o resultado, cada curso apresenta as seguintes probabilidades individuais:

P A = 0,005 P N = 0,003 P M =   0,0006

Então pessoal, pra calcular a probabilidade do resultado Y ser referente ao curso de Minas, podemos usar a definição de probabilidade:

P = N °   C a s o s   f a v o r á v e i s N °   C a s o s   t o t a t i s

Mas agora, envolvendo não o número de casos, mas a probabilidade dos casos. Assim:

P = P M P A + P N + P M

= 0,006 0,005 + 0,003 + 0,0006

= 0,07

Portanto, a probabilidade do resultado encontrado ser referente ao curso de Engenharia de Minas é de 0,07 ou 7 % .

Prontinho gente, terminamos!

Eaí, vocês entenderam bem? Responde Aí!

Resposta

a) P A = 0,005 P N = 0,003 P M =   0,0006

b) 0,07

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