Exercícios Resolvidos de Introdução à Estatística

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Enunciado

Uma fábrica produz peças de metal que possuem cobre em sua composição. É sabido que a quantidade de cobre em cada peça segue uma distribuição normal com média de 10   g quando o processo de produção está sob controle. Se a média for diferente, o processo é dito estar fora de controle. Periodicamente, para fins de verificação do processo de produção, uma amostra aleatória de 10 peças é coletada e o nível de cobre é medido. Na verificação mais recente, obteve-se média amostral de 10,8   g e desvio padrão amostral de 0,9   g .

(a) Ao nível de 5 % de significância, pode-se dizer que o processo está sob controle? Especifique formalmente as hipóteses, o critério de teste e comente suas conclusões.

(b) Para o teste acima, o p-valor seria maior ou menor que 0,05 ? Explique.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probest. Vamos analisar as informações do enunciado. Temos uma variável aleatória X que mede a composição de cobre em uma peça. E temos que

X ∼ N ( μ , σ 2 )

E temos que uma amostra aleatória de 10 peças são escolhidas. E dela observamos que média amostral de 10,8   g e desvio padrão amostral de 0,9   g .

Vamos fazer a letra a )

Passo 2

a ) Ao nível de 5 % de significância, pode-se dizer que o processo está sob controle? Especifique formalmente as hipóteses, o critério de teste e comente suas conclusões.

O que seria o processo estar sob controle? Seria a média de cobre presente nas peças será igual a 10 . Logo a nossa hipótese H 0 é:

H 0 : μ = 10

E a hipótese alternativa

H 1 : μ ≠ 10

Como não sabemos a variância de X , mas sabemos sua média. Temos que sob a hipótese H 0 , como X ∼ N ( μ , σ 2 ) . Então

X ̄ - 10 0.9 * 10 ∼ t 9

Isto é, ao subtraímos a média e dividirmos pelo desvio padrão AMOSTRAL a distribuição que obtemos é a distribuição t com n - 1 graus de liberdade.

Dessa forma, fixando nível de significância em 5 % ( α ) Temos:

5 % : ≥ P ( R e j e i t a r   H 0 | H 0   v e r d a d e i r a )

= P ( | x - μ   |   ≥ c   |   μ = 10 )

= P ( | T | ≥ c 2   )

= P ( T ≤ - c 2   ) + P ( T ≥ c 2   )

= 2 P ( T ≤ - c 2   )

Logo temos que

0.05 = 2 P ( T ≤ - c 2   )

Logo olhando a tabela t , o valor de c tal que P ( T ≤ c ) = 0.025 , é c = − 2 ,   262

Logo rejeitamos H 0 se   t   ≤   − 2 ,   262   o u   s e   t   ≥   2 ,   262 .

No nosso caso, como média amostral de 10,8   g e desvio padrão amostral de 0,9   g . Temos

t = 10.8 - 10 0.9 * 10

= 2 ,   811

Logo, como t > 2 ,   262 Rejeitamos a hipótese H 0 ao nóvel de   5 %   de significância. Há evidências de

que o processo não esteja sob controle.

Passo 3

Letra b ) Para o teste acima, o p-valor seria maior ou menor que 0,05 ? Explique.

Como rejeitamos   H 0 , o p-valor, nesse caso, é menor que 0,05 . p-valores pequenos levam à rejeição de H 0 , pois correspondem à áreas que são menores que o nível de significância devido ao fato de a estatística de teste observada pertencer à região de rejeição (região crítica), ou seja, devido ao fato de a estatística de teste ter caído mais na cauda da distribuição.

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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