Exercícios Resolvidos de Introdução à Estatística

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Enunciado

Dois times de vôlei feminino: Osasco e SESI disputam a final da Superliga de Vôlei Feminino 2017 / 2018 numa série de até 7 jogos (Será campeão o time que ganhar 4 jogos). Se a probabilidade de vitória é a mesma para as duas equipes, determine a probabilidade de:

a) O campeão sair em até seis jogos.

b) O campeão sair em seis jogos, se o time Osasco venceu os dois primeiros jogos.

Passo 1

Eaí povo bonito, tudo bem com vocês?

Para os amantes do vôlei essa questão é bem interessante!! Basicamente, dois times (Osasco e SESI), disputam a final do campeonato. Ambos possuem igual probabilidade de ganhar uma partida e quem ganhar 4 jogos será o campeão.

No item a) precisamos calcular a probabilidade do campeão sair em até seis jogos. Tudo beleza até aqui?

Então, uma estratégia legal pra pensar aqui é que se o campeão pode sair em até seis jogos, é porque ele pode sair em 4 , 5 ou 6 . Apenas não pode sair no sétimo jogo.

Ou seja:

P X ≤ 6 = P 4 + P 5 + P ( 6 )

Po, mas calcular 3 probabilidades diferentes vai dar um trabalhão. Então, podemos usar aquele raciocínio de “todos menos ruins” (que é super importante ter em mente, tá galera?!).

O único caso que não pode ocorrer é o campeão sair no sétimo jogo, então podemos dizer que:

P X ≤ 6 = 1 - P ( 7 )

Olha que top! Agora precisamos calcular apenas uma probabilidade pra matar esse item!

Bora lá! Calculamos P ( 7 ) e depois descobrimos P ( X ≤ 6 ) .

Passo 2

Massa! Precisamos calcular P ( 7 ) , ou seja, a probabilidade do campeão sair no sétimo jogo. Mas, como fazemos isso?

Tem uma sacada legal! Se o campeão sair no sétimo jogo, é porque após o sexto jogo nenhuma das duas equipes conseguiu 4 vitórias. A única forma disso ocorrer é se após o sexto jogo o placar estiver:

Osasco 3 x 3 SESI

Assim, calcular P ( 7 ) é o mesmo que calcular a probabilidade de após 6 jogos, termos o Osasco com 3 vitórias (“sucesso”) e o SESI com 3 vitórias também (“fracasso”). Pegaram a ideia?

Se estamos falando de um experimento realizado repetidas vezes nas quais pode ocorrer apenas “sucesso” ou “fracasso”, estamos falando de distribuição binomial. Lembra que, por essa distribuição:

P X = k = n k p k 1 - p n - k

n é o número de experimentos realizados, aqui é o número de jogos, logo n = 6 .

k é o número de vezes que ocorreu sucesso no experimento (Osasco vencer), ou seja, k = 3 .

p é a probabilidade de ocorrer sucesso, como ambos os times possuem a mesma probabilidade de vencer, p = 0,5 .

Tranquilo?! Então bora substituir na fórmula e calcular P ( 7 ) .

P 7 = 6 3 ⋅ 0,5 3 ⋅ 1 - 0,5 6 - 3

= 6 3 ⋅ 0,5 6  

= 6 ⋅ 5 ⋅ 4 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 0,5 6

Logo:

P 7 = 20 ⋅ 0,5 6

= 0,3125

Perfeito! Usando agora que:

P X ≤ 6 = 1 - P ( 7 )

Temos:

P X ≤ 6 = 1 - 0,3125

= 0,6875

Portanto:

P X ≤ 6 = 0,6875   o u   68,75 %

Excelente! Já matamos o item a).

Passo 3

Agora vamos para o item b). Aqui precisamos calcular a probabilidade do vencedor sair em 6 jogos se o Osasco venceu os dois primeiros.

Bom, vamos analisar nossas possibilidades.

1 ) SESI Campeão:

Para, nessa situação, o SESI ainda conseguir se sagrar campeão no 6 ° jogo, é necessário que ele vença os 4 jogos seguintes. Assim, a probabilidade do SESI ser campeão é a probabilidade de em 4 jogos, apenas o SESI ganhar.

Novamente, usando a distribuição binomial e considerando agora que “sucesso” é a vitória do SESI, temos:

n = 4 , pois esse é o número de jogos;

k = 4 , pois é o número de vezes que ocorre sucesso (vitória do SESI);

P = 0,5 , pois ambos os times possuem a mesma probabilidade de ganhar.

Logo, substituindo em:

P X = k = n k p k 1 - p n - k

Temos:

P S E S I = P X = 4 = 4 4 ⋅ 0,5 4 ⋅ 1 - 0,5 4 - 4

= 1 ⋅ 0,5 4

Portanto:

P S E S I = 0,0625

Massa! Vamos para a outra possiblidade.

Passo 4

A segunda possibilidade é o Osasco sagrar-se campeão no 6 ° jogo. Assim:

2 ) Osasco Campeão:

Pensa comigo, se o Osasco já ganhou dois jogos, para ele ser campeão precisa apenas ganhar mais dois. Porém, ainda faltam 4 jogos a ser disputados e queremos que o Osasco seja campeão apenas no sexto jogo.

Uma forma de amarrar essas condições é dizer que, nos próximos 3 jogos teremos duas vitórias do SESI e apenas uma vitória do Osasco. Dessa forma, após o 5 ° jogo o placar estará:

O s a s c o   3   x   2   S E S I

Massa! Podemos calcular a probabilidade disso acontecer usando a distribuição binomial de forma parecida com o caso 1 ) . É isso então? terminou?

Nãooo, fazendo isso garantimos apenas que haverá um 6 ° jogo, mas precisamos que o Osasco ganhe o 6 ° jogo para ser campeão. Assim, multiplicamos o resultado dessa probabilidade por 0,5 (probabilidade do Osasco ganhar uma partida). Sacaram a ideia? Bora lá!

Se em 3 jogos, o SESI vence 2 e o Osasco apenas um, temos:

n = 3 → quantidade de jogos;

k = 2 → quantidade de sucessos (vitória do SESI);

p = 0,5 → probabilidade de ocorrer sucesso.

Assim:

P = 3 2 ⋅ 0,5 2 ⋅ 1 - 0,5 3 - 2

= 3 ⋅ 0,5 2 ⋅ 0,5 1

= 3 ⋅ 0,5 3

Logo:

P =   0,375

Mas, como comentamos, ainda precisamos amarrar que o 6 ° jogo será vencido pelo Osasco. Por isso, multiplicamos esse resultado por 0,5 . Assim:

P O s a s c o = 0,5 ⋅ 0,375

= 0,1875

Perfeito!

Pra finalizar, lembra que o que realmente queremos é a probabilidade do campeão sair no sexto jogo. Ou seja, é a união dos dois casos que analisamos:

P 6 ° = P S E S I + P O s a s c o

= 0,0625 + 0,1875

Portanto:

P 6 ° = 0,25   o u   25 %

Prontinho gente! Matamos mais uma questão.

Curtiram? Responde Aí!

Resposta

a) 0,6875 ou 68,75 %

b) 0,25 ou 25 %

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