Exercícios Resolvidos de Introdução à Estatística

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Enunciado

De um grupo de 3 calouros, 4 alunos do segundo ano, 4 alunos do terceiro ano e 3 formandos, forma-se aleatoriamente um comitê de 4 pessoas. Determine a probabilidade de que o comitê seja formado por:

a) 2 (dois) alunos do segundo ano e 2 (dois) alunos do terceiro ano;

b) apenas alunos do segundo ou terceiro ano;

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo na paz?

Nessa questão temos 4 grupos diferentes (calouros, alunos do segundo ano, alunos do terceiro ano e formandos), precisamos selecionar um pouquinho de cada lugar pra formar um comitê.

No item a), esse comitê é formado por 2 alunos do segundo ano e 2 do terceiro ano.

Já no item b), o comitê deverá ser formado apenas por alunos do segundo ou do terceiro ano (podendo ter diferentes proporções: 1 do segundo ano, 3 do terceiro, por exemplo).

Basicamente, precisamos calcular a probabilidade das composições pedidas no item a) e b) ocorrerem.

Vocês têm alguma ideia?

Podemos sempre partir para a definição de probabilidade:

P = N °   d e   c a s o s   f a v o r á v e i s N °   d e   c a s o s   t o t a i s

Assim, vamos inicialmente calcular o número total de comitês que podem ser formados, e depois calculamos os casos favoráveis para os itens a) e b). Tranquilo?

Vamo nessa!

Passo 2

Então pessoal, primeiro vamos calcular o número de casos totais.

Queremos formar um comitê de 4 pessoas, retirando de 4 grupos diferentes.

São:

- 3 calouros;

- 4 alunos do segundo ano;

- 4 alunos do terceiro ano;

- 3 formandos.

Como agora estamos falando de casos totais não importa muito se certa pessoa é de um grupo ou de outro. O que importa mesmo é que no total temos:

3 + 4 + 4 + 3 = 14 alunos

Assim, dentre 14 pessoas queremos escolher 4 .

Pra primeira pessoa escolhida pra integrar o comitê, temos 14 possibilidades.

Pra segunda pessoa, temos 13 possibilidades.

Seguindo o mesmo raciocínio, para as 4   vagas do comitê teremos:

N t o t a l = 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11

Porém, como a ordem dentro do comitê não importa (o que vale apenas é quem está compondo ele), temos:

N t o t a l = 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 4 !

Show!

Passo 3

Vamos agora calcular o número de casos favoráveis para o item a).

Aqui, queremos que o comitê seja formado por 2 alunos do 2 ° ano e 2 alunos do 3 ° ano.

Vamos então escolher os alunos do 2 ° ano que vão integrar a comissão, e depois escolhemos os alunos do 3 ° ano. Por fim, basta multiplicar essas quantidades de casos.

Temos, no total, 4 alunos no segundo ano. Assim, se queremos escolher apenas (de modo que a ordem não importa), basta fazer uma combinação. Ou seja:

4 2 = 4 ⋅ 3 2 !

= 6

Logo, temos 6 casos possíveis para escolher dois alunos do 2 ° ano.

Para o 3 ° ano, como também se trata de um grupo de 4 alunos dos quais escolheremos 2 , utilizando a mesma combinação teremos também 6 casos possíveis.

Portanto, o número de casos favoráveis para a composição pedida nesse item, vale:

N f a v = 4 ⋅ 3 2 ! ⋅ 4 ⋅ 3 2 !  

Mas, aqui tem um detalhe que muitas vezes passa despercebido. Quando multiplicamos o número de casos desses dois conjuntos, é como se estivéssemos considerando que a ordem entre os dois grupos importa. Mas, para a comissão, tanto faz se escolhemos primeiro os alunos do 2 ° ano ou primeiro os do 3 °   ano.

Assim, precisamos dividir o produto por 2 .

N f a v = 4 ⋅ 3 2 ! ⋅ 4 ⋅ 3 2 ! ⋅ 1 2  

Perfeito! Usando a definição de probabilidade:

P = N °   d e   c a s o s   f a v o r á v e i s N °   d e   c a s o s   t o t a i s

E, que pelo passo 1 , o número de casos totais vale:

N t o t a l = 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 4 !

Temos:

P = 4 ⋅ 3 2 ! ⋅ 4 ⋅ 3 2 ! ⋅ 1 2     14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 4 !

�� P =   4 ⋅ 3 2 ! ⋅ 4 ⋅ 3 2 ! ⋅ 1 2 ⋅ 4 ! 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11

Abrindo os fatoriais:

P =   4 ⋅ 3 2 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 3 2 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11

Fazendo algumas simplificações:

P = 3 ⋅ 2 ⋅ 3 7 ⋅ 13 ⋅ 11

= 0,0 18

Portanto, para o item a), temos:

P = 0,0 18   o u   1 , 8 %

Passo 4

Agora vamos calcular o número de casos favoráveis para o item b). Aqui, queremos que o comitê seja formado apenas por alunos do segundo ou terceiro ano.

É bem parecido com o cálculo dos casos totais, é como se agora tivéssemos um grupão englobando os alunos do 2 ° e 3 ° ano. Para formar a nossa comissão, vamos apenas retirar alunos desse grupão. Sacaram?

Então olha, nesse grupão temos 8   ( 4 do 2 ° ano e 4 do 3 ° ano) alunos. Dentro desses 8 queremos escolher 4 , de modo que a ordem não importa. Ou seja, mais uma combinação. Logo:

8 2 = 8 ⋅ 7 2 !

= 28

Logo, existem 28 composições possíveis para o comitê escolhendo apenas alunos do 2 ° ou 3 ° ano.

Daí, usando novamente a ideia da definição de probabilidade temos:

P = N °   d e   c a s o s   f a v o r á v e i s N °   d e   c a s o s   t o t a i s

Teremos:

P = 8 ⋅ 7 2 ! 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 4 !

= 8 ⋅ 7 2 ! ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11

Simplificando:

P =   4 13 ⋅ 11  

Portanto:

P = 0,028   o u   28 %

Com isso finalizamos mais uma questãozinha!

Valeu pessoal, até a próxima 😊

Resposta

a) 0,018 ou 18 %

b) 0,028 ou 28 %

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