Exercícios Resolvidos de Introdução à Estatística

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Enunciado

Humberto deseja aumentar a capacidade de memória RAM do seu microcomputador. A placa mãe do PC de Humberto permite a instalação de até quatro pentes de memória e atualmente só possui um pente. Ele vai a uma loja e solicita a compra e instalação de mais três pentes de memória idênticos ao atual. Na loja há 12 pentes com essa característica. O que Humberto não sabe, e o técnico também não, é que entre os 12 pentes disponíveis há quatro pentes defeituosos. Se os três novos pentes forem escolhidos ao acaso (sem reposição), informe:

a) Qual o espaço amostral associado a qualidade dos três pentes de memória adquiridos?

b) Qual a probabilidade de que a capacidade de memória do PC realmente aumente? Sugestão: Determine o número de escolhas de pentes defeituosos extraídos do lote.

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo certo com vocês?

Nessa questão, temos um contexto bem legalzinho sobre pentes defeituosos. Basicamente, em uma loja há 12 pentes, dos quais 4 estão com defeito. E, Humberto precisa comprar 3 pentes nessa loja para aumentar a memória RAM do seu PC (ele é gamer haha).

No item a), precisamos determinar o espaço amostral relacionado à qualidade dos 3 pentes que Humberto vai comprar.

Já no item b) precisaremos calcular a probabilidade de que a memória do PC realmente aumente. Ou seja, a probabilidade de que pelo menos um dos pentes não esteja defeituoso.

Conseguiram entender melhor o enunciado?

Bom, vamos então dar uma revisada no conceito de espaço amostral pra determinar o que foi pedido no primeiro item. E, em seguida, vamos identificar em qual tipo de distribuição de probabilidade esse problema se encaixa, e calcular a probabilidade da memória aumentar.

Vamo simbora!

Passo 2

Começando pelo item a), vocês lembram o que é espaço amostral?

Gente, o espaço amostral é o conjunto de pontos amostrais de um experimento. Ou seja, é o conjunto das possibilidades desse experimento. Por exemplo, se lançarmos um dado, quais as possibilidades para o número que vai sair?

Pode sair 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5   ou 6 . Então, o conjunto de possibilidades, que é justamente o espaço amostral é:

{ 1,2 , 3,4 , 5,6 }

Seguindo o mesmo raciocínio, no nosso exercício iremos escolher 3 pentes. Se pensamos no espaço amostral associado à qualidade dos pentes escolhidos, quais possibilidades vamos ter?

Pode ser que nenhum pente apresente defeito, ou apenas 1 de 3 , ou 2 de 3 , ooou Humberto pode ser azarento o suficiente pra escolher os 3 pentes defeituosos.

Logo, o conjunto de possibilidades é:

{ 0 ,   1 ,   2 ,   3 }

Portanto, o espaço amostral associado à qualidade dos pentes adquiridos é:

{ 0 ,   1 ,   2 ,   3 }

Massa! Matamos o primeiro item 😊

Passo 3

Agora precisamos calcular a probabilidade da memória do PC de Humberto aumentar.

Como comentamos no passo 1 , isso equivale a calcular a probabilidade de pelo menos um dos 3 pentes adquiridos não ser defeituoso.

Então, como queremos calcular a probabilidade de que pelo menos um pente não apresente defeito, podemos usar aquele raciocínio de:

P c a s o s   f a v o r á v e i s = 1 - P ( c a s o s   r u i n s )

Os nossos casos favoráveis é exatamente quando pelo menos um pente comprado não apresenta defeito, ou seja, e os casos ruins é quando todos os 3 pentes apresentam defeito.

Como estamos considerando “sucesso” um pente apresentar defeito, se todos os 3 adquiridos são defeituosos temos k = 3 .

P c a s o s   r u i n s = P ( X = 3 )

Mas, como calculamos P ( X = 3 ) ?

Pensa comigo gente, temos 12 elementos e queremos retirar 3 , sem reposição, de modo que eles possuam a mesma característica: tenham defeito.

Isso lembra alguma distribuição polinomial?

Simm, é a distribuição hipergeométrica. Sempre que queremos retirar elementos, sem reposição, e que possuam uma mesma característica, trata-se da distribuição hipergeométrica.

Segundo ela:

P X = k = r k ⋅ N - r n - k N n

onde:

N → número total de elementos, no caso, total de pentes. N = 12

n → número de elementos da nossa amostra, como serão 3 pentes comprados, n = 3 .

r → número total de elementos que possui a mesma característica (o defeito), r = 4 .

k →   número de elementos dentro da nossa amostra retirada, que apresenta a característica (defeito). k = 3 .

Tranquilo? Então, vamo calcular:

P 3 = 4 3 ⋅ 12 - 4 3 - 3 12 3

=     4 ⋅ 8 0 12 ⋅ 11 ⋅ 10 3 ⋅ 2 ⋅ 1

Logo:

P 3 =   1 ⋅ 1 11 ⋅ 5

= 0,018

Tranquilo?

Como:

P c a s o s   f a v o r á v e i s = 1 - P ( c a s o s   r u i n s )

Teremos:

P c a s o s   f a v o r á v e i s = 1 - 0,018

= 0 , 9 82

Portanto gente bonita, a probabilidade da memória do PC de Humberto aumentar é de:

P = 0 , 9 82   o u   9 8 , 2 %

É, acho que vai aumentar mesmo hein... haha!

É isso gente,

Resposta

0,982   o u   98,2 %

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