Exercícios Resolvidos de Introdução à Estatística

Ver Teoria

Enunciado

Dois dados estão dentro de uma urna. Ambos os dados são honestos (a probabilidade de sair cada uma das faces é a mesma), porém, enquanto o primeiro dado (dado 1) tem as faces numeradas de 1 a 6, o segundo dado (dado 2) tem duas faces de número 1, duas faces de número 2 e duas faces de número 3. Um dos dados é selecionado ao acaso e retirado da urna. Responda às seguintes questões:

(a) Se o dado selecionado é lançado uma vez, qual é a probabilidade de sair face de número 2?

(b) Se o dado selecionado é lançado duas vezes, qual a probabilidade da soma das faces (dos dois lançamentos) ser menor ou igual a 3?

(c) Se o dado é lançado três vezes, obtendo três vezes a face de número 1, qual é a probabilidade do dado selecionado ter sido o dado 1?

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês vamos para mais uma questão de probest essa é boa, pois vamos poder revisar alguns conceitos importantes de probabilidade. Vamos começar a entender as informações do enunciado.

Bem temos dois dados D 1 e D 2 , a probabilidade de escolhermos um dos dois dados é a mesma, ou seja é 1 / 2 . Além disso, sabemos que D 1 é um dado normal. Enquanto que D 2 tem duas faces de número 1, duas faces de número 2 e duas faces de número 3.

Agora que temos uma ideia melhor do problema, vamos começar a resolver a letra a )

Passo 2

Vamos para a letra a ) . Se o dado selecionado é lançado uma vez, qual é a probabilidade de sair face de número 2?

Bem, como podemos escolher entre dois dados, vamos ter usar a lei da probabilidade total, que diz que se A 1 , A 2 , ⋯ ,   A n é uma partição do espaço amostral, então para qualquer conjunto B

P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( B | A i ) P ( A 1 )

No nosso caso, os dados, D 1 e D 2 formam a partição, e o evento B de interesse é o evento sair face de número 2?

Então temos:

P ( f a c e   2 ) = P ( f a c e   2 | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( f a c e   2 | D 2 ) P ( D 2 )

Vimos no passo 1 que ) P ( D 1 ) = P ( D 2 ) = 1 / 2

Agora, quem é P ( f a c e   2 | D 1 ) ?

Bem se selecionamos o primeiro dado, o dado convencional, então ele só tem uma face contendo o número 2 . Logo

P ( f a c e   2 | D 1 ) = 1 / 6

E se selecionamos o segundo dado, o que tem duas faces 2 , então

P ( f a c e   2 | D 2 ) = 2 / 6 = 1 / 3

Dessa forma, temos que

P ( f a c e   2 ) = P ( f a c e   2 | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( f a c e   2 | D 2 ) P ( D 2 )

= 1 2 ( 1 / 6 + 1 / 3 )

= 1 / 4

Passo 3

Agora vamos para a letra b )

Se o dado selecionado é lançado duas vezes, qual a probabilidade da soma das faces (dos dois lançamentos) ser menor ou igual a 3?

Bem, vamos começar pensando como podemos obter uma soma menor ou igual a 3 no lançamento de dois dados iguais. Ora, para isso ocorrer as faces obtidas podem ser:

( 1,1 )   ;   ( 1,2 ) ;   ( 2,1 )

Logo, a probabilidade da soma ser menor ou igual a 3 é

P ( s o m a   ≤ 3 ) = P ( s o m a   ≤ 3 | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( s o m a   ≤ 3 | D 2 ) P ( D 2 )

Dado que estamos no primeiro dado, qual é a P ( s o m a   ≤ 3 | D 1 ) ? Ora é

P ( 1,1 )   + P ( 1,2 ) +   P ( 2,1 ) = 1 / 36 + 1 / 36 + 1 / 36

1 / 12

Dado que estamos no segundo dado, qual é a P ( s o m a   ≤ 3 | D 2 ) ? Ora, como esse dado tem duas faces 1 e duas faces 2 então é

P ( 1,1 )   + P ( 1,2 ) +   P ( 2,1 ) = 1 / 9 + 1 / 9 + 1 / 9

= 1 / 3

Portanto,

P ( s o m a   ≤ 3 ) = P ( s o m a   ≤ 3 | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( s o m a   ≤ 3 | D 2 ) P ( D 2 )

= 1 2 ( 1 / 12 + 1 / 9 )

= 5 / 24

Passo 4

Agora, vamos para a letra c ) . Se o dado é lançado três vezes, obtendo três vezes a face de número 1, qual é a probabilidade do dado selecionado ter sido o dado 1?

Aqui, vamos precisar usar duas coisas: a lei da probabilidade total, e o teorema de Bayes. Que diz que

P ( B | A ) = P ( A | B ) P ( B ) / P ( A )

Onde B = D 1 e A o evento três números 1 . E como fizemos nas questões anteriores, temos que

P ( A ) = P ( A | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( A | D 2 ) P ( D 2 )

Vamos começar calculando o denominador

P ( A | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( A | D 2 ) P ( D 2 )

A probabilidade de tirarmos três 1 dado que estamos com o primeiro dado é:

P ( A | D 1 ) = 1 6 * 1 6 * 1 6

A probabilidade de tirarmos três 1 dado que estamos com o segundo dado é:

P ( A | D 1 ) = 1 3 * 1 3 * 1 3

pois a face 1 aparece duas vezes no dado.

Logo:

P ( D 1 | A ) = P ( A | D 1 ) P ( D 1 ) / P ( A )

= P ( A | D 1 ) P ( D 1 ) P ( A | D 1 ) P ( D 1 ) + P ( A | D 2 ) P ( D 2 )

substituindo os valores

= ( 1 / 216 ) ( 1 / 2 ) / ( ( 1 / 216 ) ( 1 / 2 )   +   ( 1 / 27 ) ( 1 / 2 ) )   = 1 / 9

Logo se o dado é lançado três vezes, obtendo três vezes a face de número 1, qual é a probabilidade do dado selecionado ter sido o dado 1 é de 1 / 9

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

Exercícios de Livros Relacionados

Faça um experimento de simulação usando um pacote estatístico ou outro software para estudar a distribuição de X - quando a distribuição da população é lognormal com E l n X = 3 e V l n X = 1 . Consid
Faça um experimento de simulação usando um pacote estatístico ou outro software para estudar a distribuição de X - quando a distribuição da população é Weibull com α = 2 e β = 5 , como no Exemplo 5.19
Tabela de números aleatóriosUse a décima linha da Tabela B.1 para gerar 10 números aleatórios entre 1 e 920.
Vinte e uma pacientes de uma clínica médica tiveram o seu nível de potássio no plasma medido. Os resultados foram os seguintes:Construa o histograma.Determine os 1°, 2° e 3° quartis.Qual a porcentagem
O conjunto de dados representa o número de filmes assistidos em um ano por uma amostra de 24 pessoas.121 148 94 142 170 88 221 106 186 85 18 106 67 149 28 60 101 134 139 168 92 154 53 66(d) Descreva a