Exercícios Resolvidos de Introdução à Estatística

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Enunciado

Em uma linha de produção de uma fábrica, três peças fabricadas serão sorteadas sequencialmente, sem reposição e inspecionadas. Cada peça será classificada como defeituosa (D) ou não defeituosa (N).

a) Descreva o espaço amostral associado a este experimento.

b) Qual a probabilidade de obtermos mais que 50 % das peças defeituosas?

c) Se sortearmos sequencialmente um número par 2 n de peças, em quantos resultados podemos obter pelo menos as primeiras n peças defeituosas?

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem?

Nessa questão, basicamente temos uma fábrica que produz peças de dois tipos: defeituosas (D) e não defeituosas (N).

Iremos sortear 3 peças, sem reposição e analisar cada uma delas para saber se apresenta defeito ou não.

A partir disso, precisaremos descrever o espaço amostral desse processo de sortear 3 peças e analisar de que tipo são.

Nos itens seguintes, também precisaremos ser capazes de determinar a probabilidade para uma certa combinação de peças do tipo D e N no sorteio.

Beleza?

Bom, vamos inicialmente descrever o espaço amostral, e a partir dele usamos a definição e probabilidade para responder os itens seguintes.

Passo 2

Começando pelo espaço amostral, iremos sortear 3 peças e existem algumas combinações possíveis entre peças do tipo D e N .

O espaço amostral é justamente o conjunto de todos os pontos amostrais, ou seja, o conjunto de todas essas possíveis combinações entre D e N, obtidas pelo sorteio.

Assim, temos:

D D D

D D N

D N D

N D D

D N N

N D N

N N D

N N N

Importante a gente ficar ligado que aqui a ordem importa, pois as peças são retiradas sem reposição. Assim, o espaço amostral será:

{ D D D ,   D D N , D N D ,   N D D ,   D N N ,   N D N ,   N N D ,   N N N }

Show?!

Passo 3

Agora precisamos calcular a probabilidade de obtermos mais de 50 % das peças defeituosas.

Bom, dado que sorteamos 3 peças, se mais da metade estará defeituosa, estamos falando dos casos:

D D D

D D N

D N D

N D D

Ou seja, dentre os 8   possíveis casos do espaço amostral, 4 satisfazem a nossa condição. Então, pela definição de probabilidade:

P = N °   C a s o s   f a v o r á v e i s N °   C a s o s   t o t a t i s

Temos:

P = 4 8 = 0,5

Ou seja, temos uma probabilidade de 50 % .

Tudo indo bem??

Passo 4

Por fim, no item c) iremos sortear 2 n peças e queremos saber a probabilidade de pelo menos as n primeiras serem defeituosas.

Para fazer isso, podemos usar novamente a definição de probabilidade:

P = N °   C a s o s   f a v o r á v e i s N °   C a s o s   t o t a t i s

Pensa comigo, pra cada peça que é sorteada existe duas possibilidades: N ou D.

Assim, cada peça sorteada dobra o número de casos totais.

Como temos 2 n peças no total, vale:

N °   C a s o s   t o t a i s = 2 2 n

Já para os casos favoráveis, as n primeiras peças precisam ser defeituosas (então o seu tipo já está amarrado). Mas, as n peças seguintes podem ser de qualquer tipo. Logo:

N °   C a s o s   f a v o r á v e i s = 2 n

Perfeito! Logo:

P = 2 n 2 2 n = 1 2 n

E é isso gente! Matamos mais uma questão.

Espero que vocês tenham entendido bem, obrigado pela atenção 😊

Resposta

a) { D D D ,   D D N , D N D ,   N D D ,   D N N ,   N D N ,   N N D ,   N N N }

b) 0,5

c) 1 2 n

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