Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

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Enunciado

Calcule os limites das funções vetoriais a seguir.

a )   l i m t → 0 + ( c o s ( t ) ,   s e n ( t ) ,   t ⋅ l n ( t ) )

Passo 1

Fala aí, beleza?? Vamos para mais uma questãozinha! Bom pessoal, a questão deseja que encontremos o limite da função vetorial θ ( t )   = ( c o s ( t ) ,   s e n ( t ) ,   t ⋅ l n ( t ) )   quando t   tende a 0 + . E agora?

Calma!!! Basta lembrar que o limite para funções de várias variáveis se resolve da mesma forma que o limite para funções de uma única variável, o que tem de especial aqui é que devemos calcular o limite para cada uma das coordenadas da nossa curva θ ( t ) . Bora lá??

Passo 2

Primeiro vamos começar pela coordenada x que equivale a c o s ( t ) , dessa forma precisamos resolver:

l i m t →   0 + c o s ( t )  

= l i m t →   0 + c o s ( 0 )

=   l i m t →   0 + 1   =   1

Lembrando que o limite de uma constante sempre é a própria constante! Basta agora fazer o mesmo para as demais coordenadas!

Passo 3

Para a coordenada y que equivale a s e n ( t ) , temos que calcular:

l i m t →   0 + s e n ( t )

= l i m t →   0 + s e n ( 0 )

=   l i m t →   0 + 0   =   0

Passo 4

Para a coordenada z que equivale a t ⋅ l n ( t ) , temos que encontrar o limite:

l i m t →   0 +   t ⋅ l n ( t )

Logo de cara quando tentamos resolver o limite em questão nos deparamos com uma indeterminação.

l i m t →   0 +   t ⋅ l n ( t ) =   l i m t →   0 +   0 ⋅ l n ( 0 )   =   0 ⋅ ∞

Portanto, utilizaremos a regra de L’Hôpital para nos auxiliar.

A regra diz que :

l i m x → a f ( x ) g ( x ) = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )  

Sendo assim,

l i m t →   0 +   t ⋅ l n ( t )  

=   l i m t →   0 +   l n ( t ) 1 t  

= l i m t →   0 +   l n ' ( t ) ( 1 t ) '

= l i m t →   0 +   1 t - 1 t ²    

= l i m t →   0 + - x

=   l i m t →   0 + - 0 =   0

Passo 5

Por fim xuxus, temos que l i m t → 0 + ( c o s ( t ) ,   s e n ( t ) ,   t ⋅ l n ( t ) ) = ( 1 ,   0 ,   0 )

E aí? Essa resolução te ajudou?? Responde Aí!

Beijinhos e até mais! :)

Resposta

( 1 ,   0 ,   0 )