Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

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Enunciado

Derive a seguinte função vetorial

r t = < t g ( t ) , s e c ⁡ ( t ) , 1 t 2 >

Passo 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é feita calculando a derivada de cada componente. Assim:

r ' t = d r d t = < x ' t , y ' t , z ' t >

Passo 2

Queremos calcular a derivada da seguinte função vetorial:

r t = < tg ⁡ ( t ) , s e c ⁡ ( t ) , 1 t 2 >

Para fazer as derivadas da primeira e da segunda componente podemos usar as relações trigonométricas e derivar usando a regra do quociente, mas geralmente temos as derivadas dessas funções tabeladas. Assim

d d t tg ⁡ ( t ) = sec 2 ⁡ ( t )

E

d d t sec ⁡ ( t ) = tg ⁡ ( t ) . sec ⁡ ( t )

Pronto, já matamos duas. Agora vamos para a terceira:

Passo 3

Nossa terceira função é

1 t 2

Para usarmos a regra do “peteleco”, vamos subir esse t 2 que está no denominador, mas pra fazer isso, lembre-se que ele precisar vir com o sinal negativo.

Então:

1 t 2 = t - 2

Agora faremos a derivada de potência, onde o expoente cai pra frente do t multiplicando e perde uma unidade.

d d t t - 2 = - 2 t - 2 - 1

- 2 t - 3

Pronto, derivamos! Mas não podemos deixar esse expoente negativo aí na nossa resposta. Então jogamos o t para baixo com expoente positivo.

Assim:

d d t 1 t 2 = - 2 t 3

Prontinho!

Por fim, juntando as derivadas de todas as componentes teremos nossa resposta:

r ' t = < sec 2 ⁡ t , sec ⁡ t t g t , - 2 t 3 >

Resposta

r ' t = < sec 2 ⁡ t , sec ⁡ t t g t , - 2 t 3 >