Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

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Enunciado

Calcule os limites das funções vetoriais a seguir.

b )   l i m t → 0 e t   -   1 t ,   1   +     t   -   1 t ,   3 t   + 1

Passo 1

E ai, xuxus!! Quais as novidades? A que eu tenho pra vocês é que vão tirar 10 nessa matéria :)

Galerinhaa, a questão deseja que encontremos o limite da função vetorial:

φ ( t )   = e t   -   1 t ,   1   +     t   -   1 t ,   3 t   + 1  

quando t   tende a 0 .

Como poderemos resolver esse problema???

Temos que lembrar que o limite para funções de várias variáveis se resolve de maneira semelhante ao limite para funções de uma única variável, o que tem de diferente é o fato que devemos aplicar o limite em questão para cada uma das coordenadas da seguinte forma:

l i m t → 0 φ ( t )   = l i m t → 0 e t   -   1 t , l i m t → 0 1   +     t   -   1 t , l i m t → 0   3 t   + 1      

Bora botar a mão na massa então!

Passo 2

Primeiro vamos começar pelo l i m t → 0 e t   -   1 t que se refere a coordenada x da nossa curva φ ( t ) :

l i m t → 0 e t   -   1 t

= l i m t → 0 e 0   -   1 0    

= l i m t → 0 e 0   -   1 0  

=   1 - 1 0 = 0 0

Observe que obtemos uma indeterminação, vamos aplicar a regra de L’Hôpital:

l i m x → a f ( x ) g ( x ) = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )

l i m t → 0 e t   -   1 t  

= l i m t → 0 ( e t   -   1 ) ' ( t ) '    

= l i m t → 0 e t 1  

= l i m t → 0 e 0 1   =   1  

Lembrando que o limite de uma constante sempre é a própria constante! Basta agora fazer o mesmo para as demais coordenadas!

Passo 3

Para a coordenada y temos que calcular l i m t → 0 1   +     t   -   1 t :

l i m t → 0 1   +     t   -   1 t

= l i m t → 0 1   +     0   -   1 0

= l i m t → 0 1 - 1 0  

=   0 0

Mais uma vez ocorreu a indeterminação, iremos racionalizar o numerador multiplicando pelo seu respectivo conjugado para nos livrarmos dessa indeterminação:

l i m t → 0 1   +     t   -   1 t ⋅ 1   +     t   +   1 1   +     t   +   1  

= l i m t → 0 ( 1 + t )   -   1 t ( 1   +     t   +   1 )

= l i m t → 0 t t ( 1   +     t   +   1 )  

= l i m t → 0 1 ( 1   +     t   +   1 )  

= l i m t → 0 1 ( 1   +     0   +   1 )  

= l i m t → 0 1 2   =   1 2  

Passo 4

Para a coordenada z , temos que encontrar o limite 3 t   + 1 :

l i m t → 0 3 t   + 1  

= l i m t → 0 3 0   + 1    

= l i m t → 0 3  

=   3

Passo 4

Assim meus amores, podemos afirmar que:

l i m t → 0 e t   -   1 t ,   1   +     t   -   1 t ,   3 t   + 1   =   1 , 1 2 ,   3

E aí? Essa resolução te ajudou?? Responde Aí!

Bons Estudos!! :)

Resposta

( 1 , 1 2 ,   3 )