Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

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Enunciado

Derive a seguinte função vetorial

r t = < t sen ⁡ ( t ) , t 2 , t cos ⁡ 2 t >

Passo 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é:

r ' t = d r d t = < x ' t , y ' t , z ' t >

Perceba que fazer a derivada da função é igual a fazer a derivada de cada componente.

Então vamos começar derivando a primeira.

Passo 2

x t = t sen ⁡ ( t )

Temos aqui uma multiplicação de t por sen ⁡ ( t ) , então vamos usar a regra do produto:

d d t f t g t = f ' t g t + f t g ' ( t )

Fazendo f t = t , teremos f ' t = 1

E fazendo g t = sen ⁡ t , teremos g ' t = cos ⁡ t

Agora colocamos na regra:

d t sen ⁡ t d t = 1 sen ⁡ t + t cos ⁡ t

x ' t = sen ⁡ t + t cos ⁡ t

A primeira fica assim, agora vamos ver a segunda

Passo 3

y t = t 2

Aqui vamos usar a regra do “peteleco”. O 2 cai pra frete do t multiplicando e perde uma unidade no expoente.

y ' t = 2 t 2 - 1

y ' ( t ) = 2 t

Show, mais uma, agora só falta a última.

Passo 4

Chegou a hora de derivar a última componente

z t = t cos ⁡ 2 t

Nessa vamos precisar de duas regras, a do produto, pois temos t multiplicando o cos ⁡ 2 t . E vamos usar também a regra da cadeia pra a derivada de cos ⁡ 2 t , já que temos uma função dentro da outra, o 2 t dentro do cosseno.

A regra do produto a gente viu ainda agorinha:

d d t f t g t = f ' t g t + f t g ' ( t )

E a da cadeia, que é aquela onde a gente deriva a função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

d d t h j t = h ' j t ∙ j ' ( t )

Então vamos lá. Começando com a regra do produto pra a nossa função

z t = t cos ⁡ 2 t

Vamos fazer f t = t e f ' t = 1

Fazendo g t = cos ⁡ 2 t e g ' t precisará da regra da cadeia.

Então vamos parar tudo e abrir aspas pra calcular essa g ' ( t )

g t = cos ⁡ 2 t

Chamando h t = cos ⁡ j e j t = 2 t

Faremos h ' t = - sen ⁡ j e j ' t = 2

Agora na regra:

d d t h j t = h ' j t ∙ j ' t

d d t cos ⁡ 2 t = - sen ⁡ j ∙ 2

Por fim, substituímos o j =2t

d d t cos ⁡ 2 t = - 2 sen ⁡ 2 t

Aqui fechamos as aspas e voltamos para a regra do produto.”

Retomando, tínhamos:

z t = t cos ⁡ 2 t

Vamos fazer f t = t e f ' t = 1

Fazendo g t = cos ⁡ 2 t e g ' t = - 2 sen ⁡ 2 t

Aplicando a regra do produto:

d d t f t g t = f ' t g t + f t g ' ( t )

d d t f t g t = 1 cos ⁡ 2 t + t - 2 sen ⁡ 2 t

Ajeitando um pouco ficamos com

z ' t = cos ⁡ 2 t - 2 t sen ⁡ 2 t

Agora já temos as derivadas de cada componente, com isso podemos dizer que:

r ' t = < s e n t + t c o s t , 2 t , cos ⁡ 2 t - 2 t sen ⁡ ( 2 t ) >

Resposta

r ' t = < s e n t + t c o s t , 2 t , cos ⁡ 2 t - 2 t s e n 2 t >