Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

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Enunciado

Calcule os limites das funções vetoriais a seguir.

d )   l i m t → 1 t   -   1 t - 1 ,   t 2 ,   t - 1 t

Passo 1

Fala aí, beleza?? Vamos para mais uma questãozinha!

Temos que encontrar o limite da função vetorial t   -   1 t - 1 ,   t 2 ,   t - 1 t quando o t se aproxima de 1 . Bom, o limite da função vetorial vai ser semelhante ao cálculo do limite para funções de apenas uma variável, o diferente aqui é que temos que calcular o limite para cada uma das dimensões da nossa função vetorial. Sendo assim,

l i m t → 1 t   -   1 t - 1 ,   t 2 ,   t - 1 t = l i m t → 1 t   -   1 t - 1 ,   l i m t → 1 t 2 ,   l i m t → 1 t - 1 t

Agora vamos calcular cada um dos limites.

Passo 2

Para l i m t → 1 t   -   1 t - 1 , temos que

l i m t → 1 t   -   1 t - 1 = l i m t → 1 1   -   1 1 - 1  

=   0 0

Note que obtemos uma indeterminação quando tentamos resolver o limite apenas substituindo o valor, com isso para resolver o limite em questão iremos fazer uma racionalização do numerador de t   -   1 t - 1 com o objetivo de nos livrar dessa indeterminação.

l i m t → 1 t   -   1 t - 1 = l i m t → 1 t   -   1 t - 1 ⋅ t + 1 t +   1  

= l i m t → 1 t   - 1 ( t - 1 ) ⋅ t +   1  

= l i m t → 1 1 t + 1  

= l i m t → 1 1 1 + 1  

= l i m t → 1 1 2

= 1 2  

Passo 3

Agora vamos resolver o limite da função que representa a coordenada y na nossa função vetorial. Portanto para l i m t → 1 t ² :

l i m t → 1 t ²

= l i m t → 1 1 ²  

=   1

Passo 4

E por fim galerinhaaaa, vamos resolver o limite da função que representa a coordenada z da nossa função vetorial. Assim,

l i m t → 1 t - 1 t = l i m t → 1 1 - 1 1  

= l i m t → 1 0 1  

= l i m t → 1 0  

=   0

Passo 5

Meus amores, descobrimos cada um dos limites dessa forma podemos afirmar que:

l i m t → 1 t   -   1 t - 1 ,   t 2 ,   t - 1 t = l i m t → 1 t   -   1 t - 1 ,   l i m t → 1 t 2 ,   l i m t → 1 t - 1 t  

=   1 2 ,   1,0

Bons Estudos pimpolhos! :)

Resposta

l i m t → 1 t   -   1 t - 1 ,   t 2 ,   t - 1 t = 1 2 ,   1,0