Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

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Enunciado

Calcule os limites.

lim t → 0 + ⁡ cos ⁡ t ,   s e n   t ,   t ln ⁡ t

Passo 1

Galera, pra calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes. Então,

l i m t → 0 + cos ⁡ t = cos ⁡ 0 = 1

l i m t → 0 + sen ⁡ t = sen ⁡ 0 = 0

l i m t → 0 +   t ln ⁡ t → 0 ln ⁡ 0 → 0   .   ( - ∞ )

Os dois primeiros deram certo, mas no terceiro caímos em uma indeterminação, então precisaremos fazer esse limite de maneira diferente.

Passo 2

Como o terceiro limite tem uma indeterminação, vamos usar a greda de L’Hôpital. Ela nos ajuda a achar o limite de uma fração quando o limite do numerador e do denominador nos levam a uma indeterminação.

Mas você pode estar pensando: “mas ali não temos uma fração”. E é por isso que antes de tudo, vamos transformá-la em fração:

l i m t → 0 +   t ln ⁡ t

Fazemos isso lebrando que quando temos uma fração embaixo no denominador, nós jagamos ela pra cima invertida multiplicando o numerado. Assim ó:

No nosso caso, temos o t ln ⁡ t . Vamos escrever esse t como t 1 e fazer o processo inverso, jogando ele pra baixo invertido:

t 1 ln ⁡ t = ln ⁡ t 1 t

Agora que já está na forma de fração, vamos aplicar a regra do L’Hôpital

Nela faremos a derivada do numerador e do denominador e aplicaremos o limite no resultado que encontrarmos.

Derivando o numerador temos:

d ( ln ⁡ t ) d t = 1 t

E derivando o denominador:

d 1 t d t = - 1 t 2

Assim, nosso limite se transforma em:

= l i m t → 0 + ln ⁡ t 1 t = l i m t → 0 + 1 t - 1 t 2

Ainda tá bem feio isso aí. Pra melhora a forma como está escrito, lembramos que na divisão de frações, nós repetimos a de cima e multiplicamos pela inverso da de baixo:

1 t - 1 t 2 = 1 t ∙ - t 2 1

Simplificando um t de cima com o de baixo, nossa função ficará:

1 t ∙ - t 2 1 = - t

Bem melhor, né?

Agora, finalmente a gente aplica o limite

l i m t → 0 + - t = 0

Ufa e depois de tudo isso, concluímos:

lim t → 0 + ⁡ cos ⁡ t ,   s e n   t ,   t ln ⁡ t = 1 ,   0 ,   0

Resposta

1 ,   0 ,   0