Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

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Enunciado

Calcule os limites.

lim t → 0 ⁡ e t - 1 t , 1 + t - 1 t , 3 t + 1  

Passo 1

Galera, pra calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes. Então para a primeira:

l i m t → 0   e t - 1 t = e 0 - 1 0

Como e 0 = 1

1 - 1 0 = 0 0

Eita, caímos em uma indeterminação. Então vamos usar L’Hôpital, derivando em cima e embaixo e depois reaplicando o limite:

A derivada do numerador é:

d e t - 1 d t = e t

E a do numerador:

d t d t = 1

Assim, nosso limites se torna:

l i m t → 0   e t 1 = e 0 1 = 1

Essa foi, agora as próximas.

Passo 2

Continuando, temos a segunda componente para aplicar o limite:

l i m t → 0   1 + t - 1 t

= 1 + 0 - 1 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Opa, novamente uma indeterminação. Aqui o L´Hôpital vai nos dar muito trabalho, então vamos tentar outra coisa.

Vemos que há uma raiz quandrada ali, então vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado do numerador. O conjugado é a mesma expressão mas com o sinal trocado. Assim o conjugado de ( 1 + t - 1 ) é ( 1 + t + 1 ) . Então:

( 1 + t - 1 ) t ∙ ( 1 + t + 1 ) ( 1 + t + 1 )

Perceba que no numerador temos a multiplicação da soma pela diferença de 1 + t   e 1 . Isso é um produto notável, que nós dá uma diferenção de quadrados do tipo:

a - b . a + b = a 2 - b 2

Assim, nosso numerador ficará:

1 + t - 1 . ( 1 + t + 1 )

1 + t 2 - 1 2

Podemos cortar o quadrado com a raiz ficando com

1 + t - 1

= t

e nosso limite se transforma em:

= l i m t → 0     t t   1 + t + 1

Agora cortamos o t de cima com o de baixo:

= l i m t → 0   1 1 + t + 1

Já melhorou bastante, então vamos aplicar o limite fazendo t → 0

= l i m t → 0   1 1 + 0 + 1 = 1 2

Prontino, essa também já foi. Agora vamos para a úlitima.

Passo 3

Vamos aplicar nosso limite diretamente:

l i m t → 0   3 t + 1 = 3 0 + 1 = 3

Essa foi mais tranquila. Ufa!

Show! Concluímos que:

lim t → 0 ⁡ e t - 1 t , 1 + t - 1 t , 3 t + 1   = 1 , 1 2 ,   3

Resposta

1 , 1 2 ,   3