Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

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Enunciado

Calcule os limites das funções vetoriais a seguir.

c )   l i m t → 0 ( e - 3 t i +   t ² s e n ² ( t ) j +   c o s ( 2 t ) k )

Passo 1

E aii, gente bonita! Talvez quando vocês leram essa questão, ficaram meio…

Maas, aqui juntos vamos deixar ela com uma carinha mais amigável. Bora??

Então bora!!

A questão quer que encontremos o limite da função vetorial e - 3 t i +   t ² s e n ² ( t ) j +   c o s ( 2 t ) k quando o t   tende a 0 . Pessoal a função vetorial nesse item está apenas escrito no formato de vetores unitários, mas o cálculo do limite se dá da mesma forma que nas demais alternativas. Assim, vamos lembrar um pouquinho daquela propriedade de soma de limites? O que temos é que, quando há soma dentro de um limite, o resultado sempre será a soma dos limites. Lembrem dessa frasesinha: o limite da soma é a soma dos limites!!

Sendo assim,

l i m t → 0 ( e - 3 t i +   t ² s e n ² ( t ) j +   c o s ( 2 t ) k ) - limite da soma

= l i m t → 0 e - 3 t i   + l i m t → 0 t ² s e n ² ( t ) j   + l i m t → 0   c o s ( 2 t ) k     - soma dos limites!!!

Agora vamos calcular cada um dos limites separadamente.

Passo 2

Vamos iniciar calculando o limite para a coordenada no eixo x   :

l i m t → 0 e - 3 t i  

Vamos lembrar de mais uma propriedade super importante em limites: quando temos um limite de multiplicação por uma constante, a constante sempre estará multiplicando todo o limite. Assim, podemos colocar i da seguinte forma:

=   i l i m t → 0 e - 3 t

Além disso, podemos ver que temos um limite exponencial, em que nossa variável t está no expoente. Como ela tende a 0, vamos substituir t por 0 no nosso próximo passo:

=   i   l i m t → 0 e 0

Show, agora, só falta uma sacadinha aqui. Qualquer coisinha que elevarmos por 0, será sempre 1. Pode ser um número, uma variável, uma árvore hahahaha. Se estiver elevado a 0, teremos como resultado, o valor 1. Então, temos aqui que:

l i m t → 0 e - 3 t i   = 1 * i

Logo, concluímos que nossa primeira parte da somatória do limite equivale a:

l i m t → 0 e - 3 t i   =   i

Beleza, bora pra nossa segunda parte da soma ali em cima!

Passo 3

Calculando o segundo limite que se refere a coordenada da função para o eixo y , temos que:

l i m t → 0 t ² s e n ² ( t ) j

Meu povo, aqui, como podemos ver, é bem parecido com a primeira parte lá da nossa soma. Temos uma constante j multiplicando, então ela irá multiplicar o limite tooodo:

=   j l i m t → 0 t ² s e n ² ( t )

Agora vamos fazer o cálculo em que t tende a 0, ou seja, substituir t por 0:

=   j l i m t → 0 0 ² s e n ² ( 0 )

Hmm, espera aí… vamos ver como fica isso:

=   j l i m t → 0 0 0

Encontramos uma indeterminação!!! Precisamos resolver essa indeterminação da mesma forma que resolvemos no cálculo 1.

Utilizaremos a Regra de L’Hôpital para nos auxiliar a resolver a indeterminação. A Regra de L’Hôpital diz:

l i m t → a f ( t ) g ( t )   = l i m t → a f ' ( t ) g ' ( t )  

Sendo assim, precisamos encontrar a derivada de t ² e de s e n ² ( t ) , já que queremos calcular o seguinte limite (e que já sabemos que dá uma indeterminação):

  j l i m t → 0 t ² s e n ² ( t )

Precisamos lembrar uma relação trigonométrica super fundamental para entendermos essa questão:

s e n ² ( t ) = 1 c o s s e c ² ( t )

Então, nossa equação vai ficar com essa carinha aqui:

=   j   l i m t → 0 t ² 1 c o s s e c ² ( t )

Aplicando agora a Regra de L’Hôpital:

=   j l i m t → 0 ( t ² ) ' ( 1 c o s s e c ² ( t ) ) '

Precisamos encontrar a derivada de t ² e 1 c o s s e c ² ( t ) , belezinha?

Temos, então,

( t ² ) ' =   2 t

( 1 c o s s e c ²   ( t ) ) ' = s e n   ( 2 x )

Só pra lembrar direitinho, utilizamos aqui aquela regrinha de tombar o expoente (para t ² ) e a regra da cadeia para a derivada trigonométrica, show?

Então, ficamos com essa equaçãozinha aqui:

=   j   l i m t → 0 2 t s e n ( 2 x )

Precisaremos aplicar a regra de L’Hôpital novamente uma vez que obtemos outra indeterminação. Logo,

  j   l i m t → 0 2 t s e n ( 2 x )

= j l i m t → 0 ( 2 t ) ' ( s e n ( 2 x ) ) '

Aqui, a gente usa os mesmos parâmetros que utilizamos para chegar até aqui. Então, temos:

= j l i m t → 0 2 c o s ( 2 x ) ⋅ 2

Substituindo por t = 0 , já que nossa variável tende a 0 :

= j l i m t → 0 2 c o s ( 2 * 0 ) ⋅ 2

= j l i m t → 0 2 2

=   j * 1  

Show, encontramos, então:

l i m t → 0 t ² s e n ² ( t ) j =   j

Passo 4

Vamos agora resolver o terceiro limite, limite esse que se refere a variação da coordenada z quando t se aproxima de zero.

l i m t → 0   c o s ( 2 t ) k  

Retirando a constante do limite:

=   k l i m t → 0   c o s ( 2 t )

Substituindo t = 0 ,

=   k l i m t → 0   c o s ( 0 )

Como c o s ( 0 ) = 1 , temos que

l i m t → 0   c o s ( 2 t ) k =   k

Show, encontramos os três limites que separamos ali em cima no passo 1 na soma, beleza?

Passo 5

Conclui-se que o l i m t → 0 ( e - 3 t i +   t ² s e n ² ( t ) j +   c o s ( 2 t ) k ) = ( i   +   j   +   k ) .

Consegui te ajudar??? Espero que sim!

Beijinhos e bons estudos! :)

Resposta

l i m t → 0 ( e - 3 t i +   t ² s e n ² ( t ) j +   c o s ( 2 t ) k ) = ( i   +   j   +   k )