Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

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Enunciado

Calcule os limites.

lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 i + t + 8   j + s e n   π t ln ⁡ t k

Passo 1

Beleza, pessoal, o exercício quer que a gente calcule o limite desse cara enorme que tem um i , um j e um k esquisitos. Como a gente faz isso e o que são essas letras i , j e k ?

Essas três letras são usadas para mostrar que a função vetorial abaixo tem três componentes diferentes (uma para cada letra).

t 2 - t t - 1 ⏞ p r i m e i r a c o m p o n e n t e i + t + 8 ⏞ s e g u n d a c o m p o n e n t e   j + s e n   π t ln ⁡ t ⏞ t e r c e i r a c o m p o n e n t e k

Para a gente organizar nossa resolução, o primeiro passo é dar um nome diferente para cada componente.

a t = t 2 - t t - 1

b t = t + 8

c t = s e n   π t ln ⁡ t

Agora fica mais fácil de entender o que é calcular o limite da função vetorial.

Pra isso, vamos calcular separadamente os limites de cada componente a t , b t e c t .

Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 2

Nesse passo, vamos tentar calcular o limite de a t .

O primeiro passo para calcular qualquer limite é substituir t pela tendência de t . A tendência de t é 1 . Logo, vamos substituir t por 1 em a t .

lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

Opa! Deu um problema nessa conta aí!

Ao substituir t por 1 diretamente obtemos uma divisão de zero por zero. E não podemos calcular, pois ela é uma indeterminação!

Sempre que temos uma indeterminação desse tipo podemos usar a regra de L’Hôpital.

No próximo passo nós vamos entender melhor o que é essa regra.

Passo 3

A regra do L’Hôpital diz que, para sair dessa indeterminação, podemos fazer as derivadas do numerador e o denominador da fração e depois aplicar limite na nova fração encontrada!

l i m t → 1 t 2 - t t - 1 = l i m t → 1 t 2 - t ' ( t - 1 ) '  

Para a t , t 2 - t é o numerador e t - 1 o denominador.

Logo, temos que responder as seguintes perguntas: Quem são suas derivadas?

d t 2 - t d t = ?

d t - 1 d t = ?

Vamos começar calculando a derivada do numerador. Para isso, temos que lembrar que podemos derivar uma subtração, derivando cada termo separadamente.

d t 2 - t d t = d t 2 d t - d t d t

Para derivar t 2 temos que usar a regra do peteleco. Nessa regra, o expoente de t cai e deixa no seu lugar um expoente que vale ele mesmo menos 1.

d t 2 d t = 2 ⋅ t 2 - 1 = 2 ⋅ t 1 = 2 t

Além disso, a derivada do t sozinho vale 1 .

Assim nós encontramos a derivada do numerador!

d t 2 - t d t = 2 t - 1

Agora vamos derivar o denominador t - 1 . Aqui também podemos fazer a derivada de cada termo separadamente.

d t - 1 d t = d t d t - d 1 d t

Como a derivada de constante vale zero, a derivada de 1 é igual a zero.

E temos novamente a derivada de t sozinho que sempre vale 1 !

Substituindo isso, descobrimos a derivada do denominador.

d t d t - d 1 d t = 1 - 0 = 1

Depois de derivar o numerador e o denominador o limite de a t fica:

lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 = lim t → 1 ⁡ 2 t - 1 1 = lim t → 1 ⁡ 2 t - 1

Agora sim podemos substituir t por 1 com segurança!

lim t → 1 ⁡ 2 t - 1 = 2 ⋅ 1 - 1 = 1

Isso significa que o limite do primeiro componente a t é igual a 1 !

Vamos descobrir quanto vale o limite de b t no próximo passo.

Passo 4

O limite de b t pode ser calulado, substituindo t pela sua tendência que vale 1 .

lim t → 1 ⁡ t + 8 = 1 + 8 = 9 = 3

O limite de b t vale 3 .

Essa foi mais fácil!

Vamos para o próximo passo que é calcular o limite de c t .

Passo 5

Primeiro, vamos tentar calcular o limite de c t , substituindo t pela sua tendência que vale 1 .

lim t → 1 ⁡ sen ⁡ π t ln ⁡ t = sen ⁡ π ⋅ 1 ln ⁡ 1 = sen ⁡ π ln ⁡ 1

ln ⁡ 1 vale zero e sen ⁡ π também vale zero.

sen ⁡ π ln ⁡ 1 = 0 0

Ou seja, substituir t por 1 diretamente gera uma indeterminação. Isso quer dizer que precisamos usar a regra de L’Hôpital e derivar o numerador e o denominador do limite novamente.

No passo seguinte a gente aplica essa regra!

Passo 6

Agora vamos partir para o numerador que é igual a sen ⁡ π t !

A derivada de sen ⁡ t nós conseguimos calcular tranquilo. Ela é igual a cos ⁡ t . Mas quanto vale a derivada de sen ⁡ π t ? Para ficar mais fácil de responder, vamos chamar π t de g .

g = π t

sen ⁡ π t ⏞ g = sen ⁡ g

Repara que temos uma função dentro da outra, por isso para calcular a derivada de sen ⁡ π t , temos que usar a regra da cadeia.

Essa regra diz que a derivada de sen ⁡ π t é igual a derivada da função de fora, vezes a derivada da de dentro.

sen ⁡ π t ' = sen ⁡ g ' ⋅ g '

sen ⁡ g ' é a uma derivada que a gente calcula normalmente. Temos a derivada do seno que é o cosseno

sen ⁡ g ' = cos ⁡ g

Substituindo g por π t novamente:

sen ⁡ g ' = cos ⁡ g = cos ⁡ π t

Essa foi a de fora.

Agora a de dentro, g ' . Como a constante π não interfere na derivada, podemos tirar ela da derivada.

g ' = π t ' = π ⋅ t '

A derivada de t sozinho vale 1 ! Substituindo isso, achamos:

g ' = π ⋅ t ' = π ⋅ 1 = π

Agora podemos calcular a derivada de sen ⁡ π t pela regra da cadeia.

sen ⁡ π t ' = sen ⁡ g ' ⋅ g ' = cos ⁡ π t ⋅ π

Enfim, podemos calcular o limite de c t .

lim t → 1 ⁡ sen ⁡ π t ln ⁡ t = lim t → 1 ⁡ cos ⁡ π t ⋅ π 1 t

Agora vamos calcular a derivada do denominador de c t que é igual a ln ⁡ t .

A derivada de ln ⁡ t é sempre igual a 1 t .

d ln ⁡ t d t = 1 t

Pronto! Já calculamos a derivada do numerador e do denominador.

Nesse limite, temos a divisão de cos ⁡ π t ⋅ π pela fração 1 t . Dividir por uma fração é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso da fração. Como o inverso de 1 t vale t 1 = t :

lim t → 1 ⁡ cos ⁡ π t ⋅ π 1 t

lim t → 1 ⁡       t 1 ⋅ cos ⁡ π t ⋅ π

lim t → 1 ⁡       t ⋅ cos ⁡ π t ⋅ π

Aplicando o limiete e substituindo t por 1 , achamos:

lim t → 1    ⁡ t ⋅ cos ⁡ π t ⋅ π =

= 1 ⋅ cos ⁡ π ⋅ 1 ⋅ π

= 1 ⋅ cos ⁡ π ⋅ π

Lembrando que cos ⁡ π = - 1 , achamos:

1 ⋅ cos ⁡ π ⋅ π =

= 1 ⋅ - 1 ⋅ π

= - π

Ou seja, o limite de c t vale – π .

Achamos os limites de todas as componentes da função vetorial.

No próximos passo, vamos mostrar como devemos expor o resultado do cálculo do limite de funções vetoriais.

Passo 7

Para mostrar o resultado de cáclulo de limite de uma função vetorial de uma forma organizada, usamos as letras i , j e k para separar os três componentes. a t é a componente que fica junto com i . b t é o componente que fica junto com j e c t é o componente que fica junto com k . Ou seja:

lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 i + t + 8   j + s e n   π t ln ⁡ t k = ( 1 i + 3 j - π k )

Agora sim terminamos o exercício! Foi longo, mas valeu a pena!

Passo 8

Desta forma: lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 i + t + 8   j + s e n   π t ln ⁡ t k = ( 1 i + 3 j - π k )

Resposta

lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 i + t + 8   j + s e n   π t ln ⁡ t k = ( 1 i + 3 j - π k )