Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

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Enunciado

Determine o domínio das funções vetoriais.

r t = 4 - t ² ,   e - 3 t , ln ⁡ ( t + 1 )

Passo 1

Como vocês estão, galera?

Esse é mais um exercício de determinar o domínio de uma função vetorial r t .

Como uma função vetorial tem várias funções dentro dela, podemos nomear cada uma dessas funções para a gente se organizar.

A função do primeiro componente pode se chamar a t .

a t = 4 - t ²

A função do segundo componente pode se chamar b t .

b t = e - 3 t

Por fim, a função do terceiro componente pode se chamar c t .

c t = ln ⁡ ( t + 1 )

Temos então:

Beleza, fizemos isso para deixar nossa solução mais organizada. Mas ainda resta responder uma pergunta: o que exatamente significa determinar o domínio?

Determinar o domínio é achar os valores de t que não causam problema de conta nas funções a t , b t e c t .

Para ficar mais claro o que são esses problemas de conta, vamos ver o próximo passo!

Passo 2

Para a gente achar os valores de t que não fazem as funções a t , b t e c t terem um problema de conta, a gente precisa descobrir os valores de t que causam problemas de conta.

Existem três situações muito comuns de acontecerem:

  1. Divisão por zero. Sempre que a função tiver uma fração, temos que garantir que o denominador não vale zero!
  2. n u m e r a d o r d e n o m i n a d o r ≠ n 0

    d e n o m i n a d o r ≠ 0

  3. Raiz quadrada de número negativo. Sempre que a função tiver uma raiz quadrada, temos que garantir que a parte de dentro da raiz nunca seja negativa.
  4. p a r t e   d e   d e n t r o   d a   r a i z ≥ 0

  5. log ⁡ de número menor ou igual a zero. Sempre que uma função tiver um log ⁡ , precisamos garantir que a parte de dentro do log ⁡ seja maior que zero!

P a r t e   d e   d e n t r o   d o   l o g > 0

Para achar todos os problemas de conta, temos que procurar em cada uma das três funções uma raiz quadrada, uma fração e um log ⁡ .

De cara nós podemos ver que a função a t tem uma raiz quadrada.

a t = 4 - t ²

Logo, nós temos que garantir que a parte de dentro dessa raiz não seja negativa. Ou seja, essa parte de dentro precisa ser maior ou igual a zero.

4 - t 2 ≥ 0

Passando o - t 2 para o lado direito, fazemos o sinal de menos sumir.

4 ≥ t 2

Vamos só trocar de lado pra ficar mais fácil de ler. Ahh, não esquece de trocar o sinal também, ok!

t 2 ≤ 4

A expressão acima diz que t 2 tem que ser menor ou igual a 4 . Para t 2 ser menor ou igual a 4 , t tem que estar entre o - 2 e o 2 .

Vamos ver isso em uma reta numérica que vai ficar mais claro:

Perceba que valores menores que - 2 nos darão t 2 maior que 4 , e valores, maiores que 2 , também.

Assim:

- 2 ≤ t ≤ 2

Ou seja, t tem que valer entre - 2 e 2 para não causar um problema de conta na função a t .

No próximo passo, vamos verificar os valores de t que podem causar erro de conta nas funções b t e c t .

Passo 3

Vamos olhar para a função b t e procurar uma raiz quadrada, uma fração ou um log ⁡ nela.

b t = e - 3 t

Ela não tem nada disso, certo? Logo, nenhum valor de t pode causar um erro de conta em b t . Então dizemos que seu domínio são todos os números Reais R .

Por fim, vamos olhar para c t .

c t = ln ⁡ ( t + 1 )

Ele tem um log ⁡ . Então, a parte de dentro dele tem que ser maior que zero! Logo:

t + 1 > 0

Agora, vamos passar o 1 para o lado direito.

t > - 1

Isso quer dizer que o t tem que ser maior que - 1 para não causar nenhum problema de conta em c t .

Passo 4

Então a gente tem duas condições, a primeira definida em a ( t ) e a terceira definida em c ( t )

- 2 ≤ t ≤ 2

t > - 1

Vamos ver visualmente como juntar essas duas condições!

Nossos valores de t precisam estar entre - 2 e 2 , incluindo esses valores, mas também precisamo ser maiores que - 1 . Quando acontece isso a gente pega os valores que respeitam as duas condições ao mesmo tempo.

Então nosso intervalo é:

- 1 < t ≤ 2

Se t ficar dentro desse intervalo, ele não vai dar problema de conta em nenhuma das três funções que existem dentro da função vetorial r t .

Logo o domínio de r t são justamente esses valores de t !

Pronto! Determinamos o domínio!

Resposta

Dominio de r ( t ) :

- 1 < t ≤ 2