Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

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Enunciado

Determine e esboce o domínio da função

F x , y = 1 y   , 1 - x

Passo 1

Fala, pessoal, prontos para iniciar nossos estudos sobre funções vetoriais?

Primeiro de tudo, nós podemos perceber que essa é uma função bem diferente! Ela é é uma função 2 em 1 ! Ela tem duas funções separadas por uma vírgula! A primeira (da esquerda) é uma função de y e a segunda (a da direita) é uma função de x .

F x , y = 1 y ⏞ f u n ç ã o d e   y   , 1 - x ⏞ f u n ç ã o d e   x

Como essa é uma função que tem duas funções dentro dela, vamos dar um nome para cada função diferente. Vamos chamar a função de y da esquerda de a y e a função de x da direita de função b x .

a y = 1 y

b x = 1 - x

Nós separamos a função vetorial em duas funções, mas precisamos entender o que o enunciado quer. Ele pediu para a gente determinar o domínio da função vetorial F ( x , y ) . Então vamos do começo,Mas o que é o domínio?

O domínio são todos os valores de x e de y que não causam problemas de conta nas funções a y e b x que fazem parte da nossae F x , y .

Por exemplo, vamos ver o que acontece quando y vale 0 na função a y ?!

a 0 = 1 0 = 1 0

Através da equação acima, Vvemos que, quando y vale 0 , o valor da função a y não pode ser calculado. Isso acontece, porque y = 0 gera uma divisão por zero que é impossível de ser calculada! Em outras palavras, o valorOu seja, y = 0 0 dá problema de conta na função a y ! Por isso, dizemos que 0 não pode fazer parte do domínio de F x , y ! y tem que ser diferente de zero!

y ≠ 0

Com esse exemploAssim, conseguimos ver que, para saber quais os valores que x e y podem ter, e determinar o domínio, precisamos antes saber quais os valores eles que x e y não pode ter!

Então vamos procurar no próximo passo quais os outros valores que y não pode ter.

Passo 2

Nesse passo, nós vamos procurar os outros valores que y não pode ter. Para isso,P precisamos descobrir os valores de y que dão problema de conta em a y .!

As funções que estão dentro da função vetorial sempre dão dicas de como achar esses valores!

Por exemplo, sempre que uma raiz quadrada aparece, temos que ficar atentos!

a y = 1 y

Devemos ter atenção nela, porque raiz quadrada de número negativo não existe! A raiz quadrada de número negativo não pode ser calculada no conjuto dos número reais e, portanto é um problema de conta!

Como o y está dentro da raiz quadrada, ele não pode ser negativo. Isso significa que ele precisa ser maior ou igual a zero.

y ≥ 0

No entanto, já vimos que sabemos que y não pode sernão pode valer zero, porque o zero também causa um erro de conta. Ou seja, y tem que ser maior que zero, pois só assim ele não será igual a zero e nem negativo..

y > 0

Logo, todos os valores de y maiores que zero fazem parte do domínio!

Agora, vamos descobrir quais os valores que o x não pode ter.

Passo 3

Para descobrir quais os valores que x não pode ter, precisamos prestar atenção na raiz quadrada de b x .

b x = 1 - x

A parte de dentro dessa raiz quadrada (que nesse caso é o - x ) não pode ser negativa, porque isso levaria a um erro de conta! Ou seja, - x tem que ser maior ou igual a zero.

- x ≥ 0

Aqui você pode pensar, “mas ele já é negativo, porque tem esse menos ali na frente”. Mas na verdade o valor que ficará dentro da raiz vai depender do sinal do número que colocarmos no lugar do x . Vamos ver um exemplo pra entender melhor isso.

Veja que se o x for positivo, nossa raiz ficará negativa, o que não pode acontecer (como aconteceu quando x = 2 ). Já se o x for negativo, o sinal de menos na frente dele fará com que ele se torne positivo e assim não teremos nunhum erro de conta (como quando x = - 2 ) .

Então, o que precisamos é que a raiz não seja nengativa, e para isso:Se a gente passar o x para o outro lado, vemos que:

x ≤ 0

Mas há outro detalhe ali. Nossa raiz está no denominador, e vimos que se ela for zero, teremos uma divisão por zero. O que também não pode acontecer.

Então 1 - x ≠ 1 0

E para isso precisamos que x ≠ 0 Isso significa que, para o - x ser maior ou igual a zero, x precisa ser menor ou igual a zero.

Para saber os outros valores que x não pode ter, temos sempre que prestar atenção no denominador da fração! Esse denominador nunca pode ser zero. Caso contrário, isso levaria a uma divisão por zero e a um problema de conta.

Logo, o denominador de b x precisa ser diferente de 0 .

- x ≠ 0

.

Para - x ser dizerente de 0 , x tem que ser diferente de zero. Resumindo, x não pode ser positivo para não dar problema de cálculo com a raiz quadrada e nem pode valer 0 . Ou seja, x só pode ser negativo (menor que zero).

x < 0

Logo, todos os valores de x menores que zero fazem parte do domínio!

Juntando os dois domíniosResumindo, termos o domínio da função F x , y é composto pelos valores de x < 0 e pelos valores de y > 0 .

Então, domínio de F ( x , y ) :

x < 0

y > 0

Mas calma que o exercício ainda não acabou!

Além de pedir para a gente determinar o domínio, o enunciado também pediu que a gente esboçasse o domínio.

Faremos isso agora!

Passo 4

Primeiro de tudo o que é esboçar o domínio?

Esboçar o domínio é a mesma coisa que pintar a região do plano cartesiano onde todos os pontos doo domínio se encontra.

O plano cartesiano é formado por duas retas: a reta x e a reta y .

A reta x é como se fosse uma régua com todos os valores de x do menor para o maior. Os valores de x nessa reta crescem da esquerda para a direita. Essa reta é cortada pela reta y bem no ponto onde x = 0 . Ou seja, o lado esquerdo desse ponto de corte tem os valores negativos de x . Como os valores negativos de x fazem parte do domínio, vamos pintá-lo!

A reta y é como se fosse uma régua com todos os valores de y do menor para o maior. Os valores de y nessa reta crescem de cima pra baixo. Essa reta é cortada pela reta x bem no ponto onde y = 0 . Ou seja, a parte acima desse ponto de corte tem os valores positivos de y . Como os valores positivos de y fazem parte do domínio, vamos pintá-lo!

A nossa região do domínio será a que pertence as duas condições ao mesmo tempo. Assim, pintando as duas em um mesmo plano teremos:

O domínio é a parte que está a esquerda da reta y e acima da reta x . Portanto, ela é a parte verde do gráfico.

Resposta

Domínio de F ( x , y ) :

x < 0

y > 0

Esboço do domínio: