Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

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Enunciado

Calcule os limites.

lim t → 0   ⁡ e - 3 t   i + t 2 s e n 2 t   j + cos ⁡ 2 t k

Passo 1

Pessoal, pra calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes. Então faremos:

lim t → 0   ⁡ e - 3 t ,     lim t → 0   ⁡ t 2 s e n 2 t   ,     lim t → 0   ⁡ cos ⁡ 2 t

Vamos começar com a primeira. Aplicando diretamente o limite, teremos:

l i m t → 0   e - 3 t = e - 3 . 0 = e 0 = 1

Passo 2

Agora a segunda:

l i m t → 0   t 2 sen 2 ⁡ t = 0 2 sen 2 ⁡ 0 = 0 0

Apa! Caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 . E para resolvê-la vamos tentar melhorar a cara dessa função. Uma coisa que pode ajudar é a gente perceber que o numerador e o denominador estão elevados ao quadrado. Então vamos colocar os dois juntos evados.

l i m t → 0   t sen ⁡ t 2

Isso ajuda a gente porque podemos jogar o limite lá pra dentro dos parênteses. Então primeiro a gente descobre o limite e depois eleva ao quadrado:

l i m t → 0   t sen ⁡ t 2

Na hora de fazer esse limite, nós cairemos de novo em uma indeterminação de 0 0 , então podemos usar a regra do L’Hôpital, derivando o numerador e o denominador e só depois aplicando o limite nessas derivadas.

l i m t → 0   t sen ⁡ t = l i m t → 0   t ' ( sen ⁡ t ) '

l i m t → 0   t ' ( sen ⁡ t ) ' = l i m t → 0   1 cos ⁡ t

Então nosso limite se torna:

l i m t → 0   t sen ⁡ t 2 = l i m t → 0   1 cos ⁡ t 2

l i m t → 0   1 cos ⁡ 0 2 = 1 1 2 = 1

E encontramos o limite da segunda componente. Agora partiu pra terceira.

Passo 3

Nossa terceira compodente é

cos ⁡ 2 t

Aplicando diretamente o limite, temos:

l i m t → 0 cos ⁡ 2 t = cos ⁡ 0 = 1

E 1 novamente rs.

Então,

lim t → 0   ⁡ e - 3 t   i + t 2 s e n 2 t   j + cos ⁡ 2 t k = 1 i + 1 j + 1 k

Resposta

i + j + k