Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

Ver Teoria

Enunciado

Calcule os limites.

lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² , t g - 1 t , 1 - e - 2 t t

Passo 1

Fala aí, bora matar mais essa questão aqui no peito! A questão pede pra gente calcular o limite tendendo ao infinito e para calcular o limite de uma função vetorial precisamos calcular o limite de cada um dos seus componentes.

Sendo que o primeiro termo corresponde ao componente i , o segundo termo corresponde ao componente j e o terceiro termo corresponde ao componente k .

Passo 2

Limite do componente i :

lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t 2

Substituindo diretamento o limite, teremos uma indeterminação do tipo:

lim t → ∞ ⁡ 1 + ∞ 2 1 - ∞ 2 = - ∞ ∞

Então precisavos tentar resolver de outra maneira.

O melhor método pra resolver quando temos divisão de polinômios e o limite tende a intinito, é colocarmos em evidencia a variável de maior grau! No caso o t 2 .

Parece complicado o que eu disse? Acompanha comigo. Antes vamos multiplicar em cima e em baixo por t 2 t 2 :

lim t → ∞ ⁡ t 2 t 2 + t 2 t 2 t 2 - t 2

Agora que temos o t 2 nos dois termos, tanto em cima quando embaixo, vamos colocar ele em evidência na frente dos parênteses:

lim t → ∞ ⁡ t 2 1 t 2 + 1 t 2 1 t 2 - 1

Fazendo isso, consiguimos cortar os dois t 2 , e ficar com

lim t → ∞ ⁡ 1 t 2 + 1 1 t 2 - 1

Observa que agora, quando eu for aplicar o infinito dentro do limite eu vou ter divisões por infinito, que a gente sabe que dá zero!

lim t → ∞ ⁡ 1 ∞ 2 + 1 1 ∞ 2 - 1 = lim t → 1 ⁡ 0 + 1 0 - 1 = - 1

Prontinho, conseguimos calcular o limite sem cair em intederminação.

Passo 3

Limite do componente j :

lim t → ∞ ⁡ t g - 1 t =

Essa daqui pode ser um pouco chatinha, mas se você vier comigo a gente resolve. Lembra como é o gráfico de t g   x ?

Como estamos trabalhando com a inversa dela, ou seja, t g - 1 t , isso é como se a gente girasse ela, trocando o eixo x por y , ficando

Então, como a tg fica com x restrito entre - π 2   e π 2 , sabemos que essas vão ser as assíntotas horizontais agora!

Observa então que quando o x dessa nossa função está la no infinito, sabemos que y vai tender pra π 2 . A nível de curiosidade a gente consegue também observar que caso o limite fosse pra menos infinito, a função iria para - π 2 .

Assim a gente acabou de descobrir o limite desejado:

lim t → ∞ ⁡ t g - 1 t = π 2

Passo 4

Limite do componente k :

lim t → ∞ ⁡ 1 - e - 2 t t =

Vamos primeiramente separar essa subtração na fração, ficamos então com

lim t → ∞ ⁡ 1 t - e - 2 t t =

Como aquele exponencial está elevado a um número negativo, podemos colocar ele no denomidador

lim t → ∞ ⁡ 1 t - 1 t e 2 t =

Agora vamos simplesmente substituir o infinito na função

lim t → ∞ ⁡ 1 ∞ - 1 ∞ e 2 ∞ =

Um numero inteiro dividido porá infinito sabemos que dá zero, certo? Então temos:

1 ∞ - 1 ∞ e 2 ∞ = 0 - 0 = 0

Passo 5

Desta forma: lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² , t g - 1 t , 1 - e - 2 t t = - 1 , π 2 , 0

Resposta

lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² , t g - 1 t , 1 - e - 2 t t = - 1 , π 2 , 0