Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 9, Questão 27

Passo 1

Vamos lá! Começando da letra ( a )

Podemos chamar a quantidade da substância em cada tempo de: q ( t )

E sabemos que a taxa de desintegração é a variação da quantidade por tempo, que pode ser escrita como

d q t d t

Então, como sabemos que a taxa é proporcional à quantidade de substância em casa tempo

d q t d t = k q ( t )

Onde k é uma constante de desintegração.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, na letra ( b ) devemos encontrar a constante de desintegração. Primero, vamos resolver nossa EDO, que para nossa sorte é separável.

d q t d t = k q ( t )

d q t q ( t ) = k d t

Integrando dos dois lados

ln ⁡ Q ( t ) = k t + C

Q t = C e k t

Bom, sabemos que no tempo zero, temos toda a quantidade inicial de substância, que vamos chamar de q 0 , então

Q 0 = C e 0 = q 0

C = q 0

Q t = q 0 e k t

O problema nos deu outra condição, em t = 1200 , há perda de 36 % da substância, ou seja, restam 64 %   da substância inicial

Q 1200 = 64 100 q 0

Q 1200 = q 0 e 1200 k = 64 100 q 0

e 1200 k = 64 100

1200 k = ln ⁡ 64 100

1200 k = ln ⁡ 16 25

1200 k = ln ⁡ 4 5 2

Manipulando mais um pouco

1200 k = 2 ln ⁡ 4 5

k = 1 600 ln ⁡ 4 5

Passo 3

Para a letra ( c ) precisamos determinar quanto de amostra desaparece em 600   anos. Para isso vamos fazer

Q 0 - Q ( 600 )

Q 0 = q 0

Q 600 = q 0 e 600 600 ln ⁡ 4 5 = 4 5 q 0

Q 0 - Q 600 = q 0 - 4 5 q 0 = 1 5 q 0

Passo 4

Para saber em que momento haverá apenas 1 50 da fração original. Podemos fazer

1 50 q 0 = q 0 e t 600 ln ⁡ 4 5

1 50 = e t 600 ln ⁡ 4 5

ln ⁡ 1 50 = t 600 ln ⁡ 4 5

t = 600 ln ⁡ 1 - ln ⁡ 50 ln ⁡ 4 - ln ⁡ 5

t = 600 - ln ⁡ ( 2   .   25 ) ln ⁡ 4 - ln ⁡ 5

t = 600 - ln ⁡ 2 - ln ⁡ 25 ln ⁡ 4 - ln ⁡ 5

Passo 5

Agora, só falta determinar a meia vida a substância, que é o tempo necessário para ter apenas 50% da amostra original, ou seja:

50 100 q 0 = q 0 e t 600 ln ⁡ 4 5

50 100 = e t 600 ln ⁡ 4 5

1 2 = e t 600 ln ⁡ 4 5

ln ⁡ 1 2 = t 600 ln ⁡ 4 5  

t = 600 ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 ln ⁡ 4 - ln ⁡ 5

t = 600 - ln ⁡ 2 ln ⁡ 4 - ln ⁡ 5

Resposta

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