Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

Devido a uma maldição rogada por uma tribo inimiga, os membros de uma certa aldeia são gradualmente impelidos ao assassinato ou suicídio. A taxa de variação da população é de − 2   √ p pessoas/mês, quando o número de pessoas é p. Quando a maldição foi rogada a população era de 1600 pessoas. Quando morrerá toda a população da aldeia?

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que Devido a uma maldição rogada por uma tribo inimiga, os membros de uma certa aldeia são gradualmente impelidos ao assassinato ou suicídio. A taxa de variação da população é de − 2   √ p pessoas/mês, quando o número de pessoas é p. Quando a maldição foi rogada a população era de 1600 pessoas. Temos que responder a pergunta: Quando morrerá toda a população da aldeia?

Vamos montar a equação diferencial envolvida, resolvê-la pelo método de separação de variáveis. E então avaliar qual instante de tempo corresponde a p igual a zero. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, temos que a taxa de variação da população é

d p ( t ) d t = − 2   √ p

Podemos resolver essa equação diferencial pelo método de separação de variáveis, que consiste em separar cada variável de um lado da equação e integrar:

d p ( t )   2 √ p = - d t

Passo 3

Integrando:

∫ d p   2 √ p   = - ∫ d t

√ p = - t + C

Então,

p ( t ) = ( - t + C ) 2

Passo 4

Agora vamos utilizar as condições

    p ( 0 ) = 1600 pessoas

Lembrando que o tempo é medido em meses. Substituindo

  p ( 0 ) = C 2 = 1600

C = √ 1600 = 40

então,

p ( t ) = ( 40 - t ) 2

É a expressão para o número de pessoas da aldeia em função do tempo.

Passo 5

Agora vamos calcular o tempo para que o número de pessoas ser zero,

p ( t 0 ) = ( 40 - t 0 ) 2 = 0

Então,

40 - t 0 = 0

Assim,

t 0 = 40 meses

Esse é o tempo para toda população morrer.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

t 0 = 40 meses.

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