Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G3 - 2015.1, Questão 4

Um tanque com capacidade para 1200 litros está qcheio de água pura. Água salgada contendo 0,1 k g de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 10   l / m i n . A solução é agitada e retirada do tanque a mesma taxa. Seja y t a quantidade de sal no tanque a cada minuto.

a Escreva uma equação diferencial que represente a taxa de variação da quantidade de sal no tanque. A taxa de variação de quantidade de sal no tanque é a diferença entre a taxa que entra e a taxa que sai.

b Obtenha a solução geral desta equação.

c Obtenha a quantidade de sal no tanque após 1 hora.

d Calcule

lim t → ∞ ⁡ y t

Passo 1

a)

Vamos começar entendendo o problema. Temos um tanque que tem uma capacidade de 1200   l e que está cheio de água.

Além disso, temos agora salgada sendo bombeada para dentro do tanque, e agua salgada sendo bombeada para fora do tanque a mesma vazão, isso nos diz que o tanque sempre terá a mesma quantidade de água. Porém a quantidade de sal na água vai variando ao longo do tempo.

Vamos ver como fazemos essa conta, considerando o tempo t em minutos vamos ver quando de sal entra por minuto.

S a l e n t r a = 0,1   .   10

Isso porque entra 10   l por minuto tendo 0,1   k g de sal por litro. Então vai entrar

S a l e n t r a = 1   k g / m i n

Temos que ver agora quando de água saí. Aqui é um pouco mais completo, porque não sabemos a concentração de sal que vai ter na parada.

Digamos que temos y k g de sal no tanque, a concentração vai ser

C s a l = y 1200 k g l

Essa é a quantidade de sal por litro dentro do tanque, para saber quanto de sal sai por minuto, basta multiplicar essa concentração pela quantidade de litro que saem por minuto, ou seja, vamos ter

S a l s a i = y 1200 . 10   k g / m i n

S a l s a i = y 120   k g / m i n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que sabemos quando de sal sai e quanto de sal entra, a quantidade de sal variando por minuto vai ser

V a r i a ç ã o S a l = 1 - y 120

A variação é a derivada da quantidade de sal y em relação ao tempo t então

d y d t = 1 - y 120

E essa é a nossa EDO que representa a taxa de variação de sal no tanque. Vamos deixar um pouco mais bonitinho

d y d t = 120 - y 120

Passo 3

b)

Vamos resolver essa EDO agora. Repara que temos uma função só com y do lado esquerdo, isso nos diz que essa equação é separável. Vamos jogar tudo com y para esquerda e o d t para direita.

Vamos ter

d y 120 - y = d t 120

Passo 4

Agora vamos integrar os dois lados

∫ d y 120 - y = ∫ d t 120

Vamos ter

- ln ⁡ 120 - y = t 120 + C

Multiplicando tudo por - 1

ln ⁡ 120 - y = - t 120 - C

Então

120 - y = e - t 120 - C

Vamos separa essas potências

120 - y = e - t 120 e - C

Trocando e - C por K vamos ter

120 - y = K e - t 120

Vamos tirar esse módulo agora

120 - y = ± K e - t 120

Assim vamos ter

y = 120 ∓ K e - t 120

Podemos trocar ∓ K por uma constante C 1 sem problema nenhum

y = 120 + C 1 e - t 120

Não precisamos nos preocupar em achar C 1 agora, isso porque ele quer a solução geral da EDO que achamos e não a solução particular para o nosso caso.

Passo 5

c)

Aqui ele quer a quantidade de sal após 1 hora, mas para isso temos que saber o valor de C 1 . Agora é aquele momento que você para respira e lembra de uma parada que ele disse no enunciado. O tanque inicialmente tinha água pura, a quantidade de sal no início então é 0 . Isso nos diz que

y 0 = 0

Então

0 = 120 + C 1 e - 0 120

0 = 120 + C 1

C 1 = - 120

A EDO vai ficar

y = 120 - 120 e - t 120

Passo 6

Agora que temos a equação completinha, vamos achar y depois de 1 hora. Mas fica atento numa pegadinha malandra deles, ele disse 1 hora, mas o tempo é medido em minutos então

t = 60

Cuidado com essas unidades

Vamos ter

y 60 = 120 - 120 e - 60 120

y 60 = 120 - 120 e - 1 / 2

E essa resposta fica feia assim mesmo.

Passo 7

d)

Agora ele quer o limite da função que achamos

lim t → ∞ ⁡ y t = lim t → ∞ ⁡ 120 - 120 e - t 120

Vamos ter

lim t → ∞ ⁡ 120 - 120 e - t 120 = 120 - 120 e - ∞ 120 = 120 - 120.0 = 120

Resposta

  1. d y d t = 120 - y 120
  2. y = 120 + C 1 e - t 120
  3. y 60 = 120 - 120 e - 1 / 2
  4. 120

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