Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G1 - 2013.2, Questão 2

Uma colônia de bactérias aumenta sua população a uma taxa proporcional a quantidade de bactérias presente em cada instante de tempo, com população inicial n 0 = n 0 segundo a equação diferencial:

n ' t = k n t ,     k ∈ R

  1. Encontre a solução geral da equação diferencial
  2. Se em 4 horas a população triplica, em quanto tempo ela será 27 vezes o valor inicial.

Passo 1

a )

Primeiro vamos reescrever essa EDO fazendo

n ' = d n d t

d n d t = k n

Repara que temos, em um dos lados, uma função de n . Essa equação é separável

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que isolar os termos com n para o lado que tem e os termos com t do outro

d n d t = k n

⇒ d n n = k d t

Passo 3

Agora, temos que integral os dois lados

∫ d n n = ∫ k d t

ln ⁡ n = k t + C

Dando uma arrumada nisso vamos ter

n = e C e k t

Como estamos considerando n como uma população, ele sempre será positivo

n = e C e k t

Podemos fazer

n = C ' e k t

Passo 4

Vamos usar a condição inicial agora

n 0 = n 0

Vamos ter

n 0 = C ' e k . 0

C ' = n 0

A equação vai ficar

n t = n 0 e k t

Passo 5

b )

Ele disse que

n 4 = 3 n 0

Substituindo isso na equação vamos ter

3 n 0 = n 0 e k . 4

3 = e 4 k

Aplicando ln ⁡  

ln ⁡ 3 = ln ⁡ e 4 k

ln ⁡ 3 = 4 k

k = ln ⁡ 3 4

Isso faz com que a equação fique

n t = n 0 e ln ⁡ 3 4 t

Passo 6

Ele quer o tempo t * onde n t * = 27 n 0

Substituindo na equação

27 n 0 = n 0 e ln ⁡ 3 4 . t *

27 = e ln ⁡ 3 4 . t *

Aplicando ln ⁡  

ln ⁡ 27 = ln ⁡ e ln ⁡ 3 4 . t *

ln ⁡ 3 3 = ln ⁡ 3 4 t * ln ⁡ e

3 ln ⁡ 3 = ln ⁡ 3 4 t *

t * = 12

Resposta

  1. n t = n 0 e k t
  2. t * = 12

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