Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

A população de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante dada pela equação

d P d t = k P

Sabendo que a população inicial é P 0 e que a população duplicou em 5 anos, qual é o valor de k ?

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

Do enunciado temos que a população inicial é P 0 = P 0 , e que após 5   a população duplicou:

P 5 = 2 P 0

Daí temos um PVI com essas condições:

P 0 = P 0

P 5 = 2 P 0

E queremos saber k .

Certo?

Passo 2

Essa equação diferencial pode ser escrita da seguinte forma:

d P d t = k P

Vamos passar o d t pra direita e o P pra direita:

d P P = k   d t

E integrar dos dois lados:

ln ⁡ P = k t + C

P t = P 0 e - k t

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos determinar esse k . Pela condição dada, temos que P 5 = 2 P 0 , daí:

P t = P 0 e k t

2 P 0 = P 0 e 5 k

2 = e 5 k

ln ⁡ 2 = 5 k

k = ln ⁡ 2 5 = 0,14

Aí nossa solução é:

P t = P 0 e 0,14 t

Então é isso pessoal! Terminamos!

Resposta

0,14

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