Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

8. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se observa que após 1 hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial. Determine a meia-vida da substância (meia-vida de uma substância radioativa é o tempo que a substância leva para que sua massa decaia à metade da quantidade original).

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos determinar a meia vida da substância.

Com os dados conseguimos montar uma equação diferencial separável e encontrar a meia vida.

Passo 2

Como a substância descreve a uma taxa ( d m / d t ) proporcional à quantidade presente ( k m ), então podemos montar a edo separável:

d m d t = k m

Botando tudo que tem m de um lado e t do outro:

d m m = k d t

Integrando:

ln ⁡ m = k t + K

Passo 3

Para o instante inicial, temos t = 0 e m = m 0 :

ln ⁡ m 0 = K

E uma hora depois temos t = 1 e m = m 0 - 0,1 m 0 = 0,9 m 0

ln ⁡ 0,9 m 0 = k + K

Subtraindo uma equação da outra conseguimos sumir com o K :

ln ⁡ m 0 - ln ⁡ 0,9 m 0 = - k

k = ln ⁡ 0,9 m 0 - ln ⁡ m 0

Usando as propriedades de log:

k = ln ⁡ 0,9 m 0 m 0

k = ln ⁡ 0,9

k = ln ⁡ 9 10

k = ln ⁡ 9 - ln ⁡ 10

Passo 4

Como queremos achar o tempo de meia vida, então queremos achar o t quando m = 0,5 m 0 :

ln ⁡ 0,5 m 0 = ln ⁡ 9 - ln ⁡ 10 t + K

Podemos usar qualquer uma das duas equações do início do passo 3. Usando a primeira, que tem os dados do instante inicial:

ln ⁡ m 0 = K

Subtraindo uma da outra:

ln ⁡ 0,5 m 0 - ln ⁡ m 0 = ln ⁡ 9 - ln ⁡ 10 t

Usando a propriedades de log, do lado esquerdo:

ln ⁡ 0,5 m 0 m 0 = ln ⁡ 9 - ln ⁡ 10 t

ln ⁡ 0,5 = ln ⁡ 9 - ln ⁡ 10 t

ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 9 - ln ⁡ 10 t

ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 =   ln ⁡ 9 - ln ⁡ 10 t

t = - ln ⁡ 2 ln ⁡ 9 - ln ⁡ 10

t = ln ⁡ 2 ln ⁡ 10 - ln ⁡ 9

Resposta

t = ln ⁡ 2 ln ⁡ 10 - ln ⁡ 9

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