Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

3. Resolva as seguintes equações diferenciais:

d) sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ   d θ - cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ   d ϕ = 0

Passo 1

Falaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular a equação diferencial separável.

Pra isso vamos lembrar que pra resolver uma equação diferencial separável temos que “separar” tudo que tem uma variável de um lado e tudo que a outra variável do outro lado. Depois disso integramos os dois lados.

Passo 2

Temos:

sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ   d θ - cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ   d ϕ = 0

Reorganizando os termos:

sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ   d θ = cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ   d ϕ

sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ

tan ⁡ θ d θ = tan ⁡ ϕ d ϕ

Passo 3

Integrando dos dois lados:

∫ tan ⁡ θ d θ = ∫ tan ⁡ ϕ d ϕ

ln ⁡ sec ⁡ θ + K 1 = ln ⁡ sec ⁡ ϕ + K 2

Podemos deixar as constantes do mesmo lado: K 3 = K 1 - K 2

ln ⁡ sec ⁡ ϕ = ln ⁡ sec ⁡ θ + K 3

Podemos ir mais longe e reescrever a constante como um ln de outra constante: ln ⁡ C = K 3

ln ⁡ sec ⁡ ϕ = ln ⁡ sec ⁡ θ + ln ⁡ C

Usando as propriedades de log:

ln ⁡ sec ⁡ ϕ = ln ⁡ sec ⁡ θ ⋅ C

Aplicando exponencial dos dois lados:

sec ⁡ ϕ = C sec ⁡ θ

Como s e c = 1 / c o s :

1 cos ⁡ ϕ = C 1 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = C cos ⁡ ϕ

Acabamos =)

Resposta

cos ⁡ θ = C cos ⁡ ϕ

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