Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pg 36-24

Um trenó foguete com velocidade inicial de 150 milhas/h (cerca de 241km/h) tem sua velocidade diminuída por um canal de água. Suponha que durante o processo de freagem a aceleração a é dada por a v = - μ v 2 , onde v é a velocidade e μ é uma constante.

  1. Use a relação d v d t = v ( d v d x ) para escrever a equação de movimento em função de v e de x .
  2. Se é necessária uma distância de 2000 pés (cerca de 609.6m) para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h, determine o valor de μ .
  3. Encontre o tempo τ necessário para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h.

Passo 1

a) Na primeira letra ele quer que a gente escreva a equação diferencial em função de v e x . Vamos botar a mão na massa.

d v d t = a t = - μ v 2

d v d t = v d v d x

Subtituindo a primeira equação na segunda:

d v d t = v d v d x = - μ v 2

d v d x = - μ v

Essa EDO é de que tipo? Separável!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Pra acharmos o valor de μ a partir da distância temos que resolver a equação separável que encontramos na letra a

∫ d v - v = ∫ μ d x

Passo 3

Resolver essas integrais já é mole pra gente. Vamos fazer

∫ d v - v = - ln ⁡ v

∫ μ d x = μ x

- ln ⁡ v = μ x + C

Onde C é uma constante que a gente adiciona por estarmos lidando com integrais indefinidas.

v = e - μ x + C

Trocando a constante e - C por uma outra constante A .

v = A e - μ x

Passo 4

Para acharmos os valores de A e de μ temos que usar as informações inciais que ele nos dá: v 0 = 241   k m / h e v 0.6096 = 24,1   k m / h .

v 0 = A e - μ * 0 = A = 241   k m / h

v 0.6096 = 241 e - 0.6096 μ = 24,1

e - 0.6096 μ = 1 10

- 0.6096 μ = ln ⁡ 1 10

Usando uma calculadora esperta, vamos achar:

μ = - 1 0.6096 ln ⁡ 1 10 ≅ 3.777 k m - 1

Passo 5

c) Para resolvermos essa letra temos que resolver:

d v d t = - μ v 2

Porque? Porquê ele quer relacionar velocidade e tempo e não velocidade e espaço como nos outros itens!

Escrevendo naquele formato característico de resolver equação separável e integrando de ambos os lados.

∫ d v v 2 = ∫ - μ d t

∫ d v v 2 = - 1 v

∫ - μ d t = - μ t

- 1 v = - μ t + D

Onde D é uma constante.

Passo 6

Vamos substituir o valor da velocidade inicial, v 0 = 241   k m / h para calcular D .

- 1 241 = - μ * 0 + D

D = - 1 241 h k m  

Assim teremos:

- 1 v = - μ t + D

- 1 v = - μ t + - 1 241

- 1 v = - 241 μ t 241 - 1 241

v t = 241 241 μ t + 1 ,     μ = 3.777 k m - 1

Calculando τ tal que v τ = 24,1   k m / h

v τ = 241 241 μ τ + 1 = 24 , 1       →

241 = 241 μ τ + 1 24 , 1   →

241 24 , 1 = 241 μ τ + 1 →

10 = 241 μ τ + 1 →

τ = 9 241 μ = 0.009887   h = 35.594 s

Resposta

a) d v d x = - μ v

b)

μ = - 3.777 k m - 1

c)

τ = 35.594 s

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