Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

UFPE, Cálculo 4, 1º EE - 2017.1 (2), Questão 5

Um investidor aplica na bolsa de valores determinada quantia que triplica em 30 meses. Em quanto tempo essa quantia estará quadruplicada, supondo-se que a quantidade aplicada aumenta a uma taxa proporcional ao investimento feito a cada instante?

Dica: Assuma que l n 4 l n 3 ≅ 1,26 .

Passo 1

Bom, pra começar, vamos tentar escrever matematicamente a frase “(...) a quantidade aplicada aumenta a uma taxa proporcional ao investimento feito a cada instante”. A palavra “taxa” nos remete a derivada e a palavra “proporcional” a algo do tipo k vezes alguma coisa. Traduzindo essa frase matematicamente:

d Q d t = k Q

Onde Q é esse investimento citado no problema.

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Passo 2

Agora, vamos resolver essa EDO:

1 Q d Q = k d t

∫ 1 Q d Q = ∫ k d t

l n Q = k t + C

Q t = e k t + C = e k t Q o

No passo acima, o e C foi substituído por Q o , pois é exatamente o valor de Q ( 0 ) .

Lembrete: t está medido em meses

Passo 3

Bora então usar as informações do problema, ok?

“Um investidor aplica na bolsa de valores determinada quantia que triplica em 30 meses. ”

Traduzindo...

Q 30 = 3 Q o

3 Q o = e k . 30 Q o ⇒   e 30 k = 3

30 k = l n 3 ⇒   k = l n 3 30

Ao descobrirmos k , podemos substituir na fórmula e encontrar Q ( t ) apenas em função de t .

Q t = e l n 3 30 t Q o ⇒   Q t = Q o 3 t 30

Passo 4

Queremos encontrar t tal que Q t = 4 Q o , portanto

4 Q o = Q o 3 t 30 ⇒     4 = 3 t 30

l n 4 = t 30 l n 3

l n 4 l n 3 = t 30 ⇒   t = 30 . 1,26

t = 37,8   m e s e s   ⇒     t = 37   m e s e s   e   24   d i a s

Resposta

t = 37   m e s e s   e   24   d i a s

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