Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Ao fim

de 10   m i n , cresceu 3 % .

  1. Determine a constante de proporcionalidade

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos determinar a constante de proporcionalidade.

Foi dado que a cultura cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente, então podemos montar a EDO:

d P d t = k P

Passo 2

Resolvendo a EDO:

d P d t = k P

Passando tudo que tem P pra um lado e que tem t pro outro:

d P P = k d t

Integrando dos dois lados:

∫ d P P = ∫ k d t

ln ⁡ P = k t + C

Tudo bem até aqui?

Passo 3

No início temos exatamente P = P 0 e t = 0 :

ln ⁡ P 0 = C

E depois de 10 minutos a cultura crescer 3%, então P = 1,03 P 0

ln ⁡ 1,03 P 0 = k 10 + C

Ohhh.. não temos o C , maaas repara que podemos subtrair uma equação da outra e ele some:

ln ⁡ 1,03 P 0 - ln ⁡ P 0 = k 10

Usando as propriedades de log:

ln ⁡ 1,03 P 0 P 0 = 10 k

k = 1 10 ln ⁡ 1,03

k = 1 10 ln ⁡ 103 100

E é isso!

Resposta

k = 1 10 ln ⁡ 103 100

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