Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

Uma colônia de microrganismos aumenta sua população a uma taxa proporcional à quantidade de indivíduos presentes em cada instante de tempo, com população inicial m 0 = m 0 , segundo a equação

m ' t = k m t

Se em 4 horas a população triplica, em quanto tempo ela será 27 vezes a população inicial?

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

O problema nos deu uma equação diferencial que descreve a população de uns bichinhos com o passar do tempo. E a equação é essa aqui:

m ' t = k m ( t )

E ele também nos diz que no instante inicial, ou seja, quando t = 0 , temos m 0 = m 0 como população inicial. Esse m 0 a gente chama de condição inicial. Ela é uma característica do instante inicial do problema. É aquilo que deixa esse problema ser único.

Outra característica que deixa esse problema ser único é que em 4 horas a população triplica! Não é em toda colônia que isso acontece, certo? E como que a gente coloca isso em forma matemática?

Assim oh:

t = 4 → m 4 = 3 m 0

Então temos aqui duas condições iniciais que caracterizam por completo nosso problema!

m 0 = m 0

m 4 = 3 m 0

Eu digo isso porque quando a gente resolve uma equação diferencial, ela pode até ter a mesma cara (mesmo núcleo de função como solução, tipo uma família de exponenciais), mas são as condições iniciais quem vão nos especificar qual solução é a nossa solução

Como é uma equação diferencial de ordem um (temos uma linha só ali no m) podemos tentar ver se essa equação é com variáveis separáveis, isto é, se conseguimos separar de um lado só com uma variável, tipo tudo que tem m do lado esquerdo, e tudo que tem t do lado direito. E aí integrar!

Tem outras técnicas também, mas logo de cara a gente testa essa, porque é a forma mais simples! E muitas vezes dá certo =) Ainda mais quando é crescimento de uma população (olha o spoooiler!)

Tranquilo?

Passo 2

A ideia aqui é resolver a equação diferencial da seguinte forma:

- trocar m ' ( t ) por d m d t ;

- tentar colocar tudo em m de um lado, tudo que tem t do outro e integrar dos dois lados;

- usar as condições iniciais pra achar as constantes;

- por fim com a solução em mãos, vamos calcular o que é pedido: quanto tempo leva pra população chegar a 27 m 0 .

Beleza? Então é isso que vamos fazer! Bora lá?

Do passo 1 a equação diferencial é:

m ' t = k m ( t )

E daí vamos trocar m ' por d m d t :

d m d t = k m

Como k é uma constante, a posição dela pode ser aquela ali mesmo, se ela fosse uma função de m aí a gente ia precisar parra ela pro outro lado. E a função m , mesmo que dependa de t , é m! então vou passar dividindo para o lado esquerdo. E por fim podemos passar o d t que está dividindo para o outro lado multiplicando:

d m m = k   d t

Pronto! Ficamos do lado esquerdo só em função de m e do lado direito ó em função de t. Agora é integrar:

∫ d m m = ∫ k   d t

Como k é constante, pode sair da integral em t , e como m é função de t , então na hora de integrar vou usar só m mesmo, pra integração ficar mais fácil. Agora é só integrar:

ln ⁡ m = k t + C

m t = e k t + C

Essa é nossa solução! Mas para termos ela de forma bem específica, temos que encontrar C e k . E pra isso que vamos usar as condições iniciais!

Passo 3

Temos que m 0 = m 0 , então substituindo t = 0 na nossa solução

m 0 = e k 0 + C = m 0 = e C

E daqui a gente já descobre uma das constantes! A nossa solução fica assim

m t = e k t . e C = m 0 e k t

E com a outra condição achamos o k :

m 4 = 3 m 0

m 4 = m 0 e 4 k = 3 m 0

e 4 k = 3

ln ⁡ 3 = 4 k → k = ln ⁡ 3 4

Perfeito! Agora nossa solução fica beeem determinada:

m t = m 0 e t ln ⁡ 3 4

Belezinha?

Passo 4

O passo final é a gente encontrar o que o problema nos pergunta: em quanto tempo essa colônia vai ter 27 vezes a população inicial? Então queremos saber t quando

m t = 27 m 0

Agora que temos uma solução que relaciona tempo e população, é so usar ela:

m t = m 0 e t ln ⁡ 3 4

27 m 0 = m 0 e t ln ⁡ 3 4

27 = e t ln ⁡ 3 4

ln ⁡ 27 = t ln ⁡ 3 4

4 ln ⁡ 27 = t . ln ⁡ 3

t = 4 ln ⁡ 3 3 ln ⁡ 3     = 4 . 3 .   ln ⁡ 3 ln ⁡ 3   = 4.3 = 12 h o r a s

Então o tempo pra população dessa colônia ficar 27 x maior é de 12 h !

Beleza?

Resposta

12 h

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