Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 14, Questão 28

Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente em cada instante. Supondo que a quantidade inicial de material que seja Q 0 e que 10 anos depois já tenha desintegrado 1 / 3 do material inicial, determine sua meia-vida.

Passo 1

Vamos começar modelando o problema. Ele diz que o material se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente, ou seja, quanto menor a quantidade, menor vai ser a taxa de desintegração.

Essa é uma característica típica das funções exponenciais, assim quantidade em dado instante será: Q t = Q 0 A t

Para determinar A , vamos usar a segunda parte da informação. Ele disse que a cada 10 anos, desintegra-se 1 / 3 do material, ou seja, a cada 10 anos, sobram 2 / 3 do material. Assim, para t = 10 anos: Q 0 A 10 = 2 Q 0 3

Agora isolando A :

A 10 = 2 3 ⟹ A = 2 3 1 10

Ou seja, vamos ter: Q t = Q 0 ⋅ 2 3 t 10

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Modelado o problema, vamos ver agora o tempo de meia-vida. O tempo de meia vida é o tempo que leva para a quantidade de material ser igual a metade da quantidade original. Ou seja, queremos t = τ tal que:

Q τ = Q 0 ⋅ 2 3 τ 10 = Q 0 2

Bem, vamos manipular essa expressão então. Cortando Q 0 :

2 3 τ 10 = 1 2

Jogando 1 / 10 para o outro lado: 2 3 τ = 1 2 10

Agora, aplicando o log 2 / 3 ⁡ para poder cortar, vamos ter, recorrendo a calculadora: τ = log 2 / 3 ⁡ 1 2 10 = log ⁡ 2 - 10 log ⁡ 2 / 3 = - 10 log ⁡ 2 log ⁡ 2 - log ⁡ 3 ≈ 17   a n o s

Ou seja, são necessários 17 anos para a quantidade de material cair pela metade.

Resposta

τ = - 10 log ⁡ 2 log ⁡ 2 - log ⁡ 3 ≈ 17   a n o s

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas