Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 8, Questão 22

22 . Determine a função y = f ( x ) cujo gráfico contém o ponto ( 1,1 ) tal que para todo ( x , y ) do gráfico de f a área da região A 2 seja o dobro da área da região A 1 , conforme a figura ao lado.

Passo 1

Para começar, temos que:

A 1 + A 2 = x y

Pois é a área do retângulo de vértices 0,0 , x , 0 , 0 , y , ( x , y ) .

Além disso, o problema diz que:

A 2 = 2 A 1

Substituindo na primeira equação:

A 1 + 2 A 1 = x y

3 A 1 = x y

A 1 = x y 3

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Passo 2

OPAAA! Mas quem é A 1 ??? Ora, é a integral da função y = f ( x ) com respeito a x .

A 1 = ∫ 0 x y d x

Mas não sabemos calcular essa integral, certo? Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e deriver em ambos os lados com respeito x :

x y 3 = ∫ 0 x y d x

x y ' 3 + y 3 = y

E agora a gente resolve essa EDO e descobre quem é y .

x y ' + y = 3 y

x y ' = 2 y

Separando as variáveis:

1 y d y = 2 x d x

Integrando dos dois lados:

∫ 1 y d y = ∫ 2 x d x

ln ⁡ y = 2 ln ⁡ x + C

y = e ln ⁡ x 2 + C = D x 2

Passo 3

Agora vamos usar a informação de que o ponto ( 1,1 ) pertence à curva. Matematicamente, isso quer dizer que:

y 1 = 1

D = 1

y x = x 2

Resposta

22 .   y = x 2

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