Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

Considere uma espécie cuja população y t no instante t satisfaz a equação diferencial seguinte:

d y d t = - 2 y + y 2

  1. Se a população inicial y 0 = 1 , a população tenderá a longo prazo um valor de equilíbrio? Em caso positivo, qual?
  2. Se a população inicial y 0 = 3 , a população tenderá a longo prazo um valor de equilíbrio? Em caso positivo, qual?

Passo 1

Antes de mais nada percebe que as letras estão analisando a função y ? Temos que resolver a EDO antes de qualquer coisa e depois vamos para as letras, essa EDO é separável.

Agora temos que isolar os termos com y para o lado que tem d y e os termos com t do outro

d y d t = - 2 y + y 2

⇒ d y - 2 y + y 2 = d t

Passo 2

Agora, temos que integral os dois lados

∫ d y - 2 y + y 2 = ∫ d t

A integral de t é tranquilinha de resolver.

∫ d t = t + C 1

Vamos agora integrar a de y que é um pouco mais complicadinha

∫ d y - 2 y + y 2

Repara que podemos fator o denominador e deixar assim

∫ d y y y - 2

Vamos usar frações parciais em

1 y y - 2 = A y + B y - 2

1 y y - 2 = A y - 2 + B y y y - 2

1 = A y - 2 A + B y

Vamos ter

- 2 A = 1

B + A = 0

Resolvendo esse sistema vamos encontrar

A = - 1 2

B = - A = 1 2

A integral vai ficar

∫ d y y y - 2 = - 1 2 ∫ d y y + 1 2 ∫ d y y - 2 = - 1 2 ln ⁡ y + 1 2 ln ⁡ y - 2 + C 2

⇒ 1 2 ln ⁡ y - 2 - ln ⁡ y + C 2 = 1 2 ln ⁡ y - 2 y + C 2 = 1 2 ln ⁡ 1 - 2 y + C 2

Passo 3

Voltando para as integrais vamos ter

∫ d y - 2 y + y 2 = ∫ d t

1 2 ln ⁡ 1 - 2 y + C 2 = t + C 1

Juntando as duas constantes vamos ter

1 2 ln ⁡ 1 - 2 y = t + C

ln ⁡ 1 - 2 y = 2 t + 2 C

Aplicando as propriedades de log

1 - 2 y = e 2 C e 2 t = K e 2 t

Vamos tirar esse módulo,

1 - 2 y = ± K e 2 t

Podemos fazer ± K = C '

1 - 2 y = C ' e 2 t

1 - C ' e 2 t = 2 y

Multiplicando cruzado

y = 2 1 - C ' e 2 t

Passo 4

a )

Vamos achar o valor de C ' quando y 0 = 1

y 0 = 2 1 - C ' e 2.0

1 = 2 1 - C '

1 - C ' = 2

C ' = 1 - 2

C ' = - 1

A equação vai ficar

y = 2 1 + e 2 t

Passo 5

Vamos calcular o limite dessa função quando t → ∞

lim t → ∞ ⁡ 2 1 + e 2 t = 2 1 + ∞ = 2 ∞ = 0

Como essa função é continua em qualquer valor de t , isso significa que a longo prazo a população vai acabar.

Passo 6

b )

Vamos achar o valor de C ' quando y 0 = 3

y 0 = 2 1 - C ' e 2.0

3 = 2 1 - C '

3 - 3 C ' = 2

3 C ' = 3 - 2

C ' = 1 3

A equação vai ficar

y = 2 1 - 1 3 e 2 t

Passo 7

Vamos calcular o limite dessa função quando t → ∞

lim t → ∞ ⁡ 2 1 - 1 3 e 2 t = 2 1 + ∞ = 2 ∞ = 0

Você ficaria tentado agora a falar que no infinito essa parada vai para 0 , ou seja ela tem um ponto de equilíbrio, mas repara que diferente da outra vez, agora temos um denominador que pode dar 0 , e quando ele der 0 essa função toda vai para , ou seja essa função não é contínua.

Vamos achar o momento que essa função vai para , ou seja quando o denominador vai ser 0 .

1 - 1 3 e 2 t = 0

e 2 t = 3

2 t = ln ⁡ 3

t = ln ⁡ 3 2

Isso significa que a longo prazo a população vai explodir quando o tempo for ln ⁡ 3 2 .

Resposta

  1. Sim, para 0
  2. Não, a população vai “explodir” quando t = ln ⁡ 3 2

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