Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

Considere a lei de resfriamento de Newton, d T d t = k T - T m ,   k < 0 , em que a temperatura do meio ambiente T m varia com o tempo. Suponha que a temperatura inicial de um corpo seja T 1 e que a temperatura inicial do meio ambiente seja T 2 e T m = T 2 + B ( T 1 - T ) , em que B > 0 seja uma constante.

  1. Encontre a temperatura do corpo em qualquer instante t .
  2. Qual é o valor limite da temperatura quando t → ∞ ?
  3. Qual o valor limite de T m quando t → ∞ ?

Passo 1

Então, pessoal, vamos primeiro entender o problema para depois resolvê-lo. Note que o problema primeiro nos forneceu uma equação mais geral referente a lei de resfriamento de Newton,

d T d t = k T - T m

Seguindo com o enunciado, ele descreve uma situação em particular onde T m , pode ser descrita por,

T m = T 2 + B ( T 1 - T )

Então, galera, o que a gente precisa fazer é jogar essa situação particular na lei de resfriamento de Newton. A partir daí, nos podemos resolver a EDO, integrando de ambos os lados, chegando a uma equação que descreve temperatura do corpo em qualquer instante t .

Até aqui resolvemos a letra (a). As letras (b) e (c), a gente resolve aplicando o limite a partir da equação encontrada em (a), ok?

Então vamos lá!

Passo 2

  1. Para encontrar a nossa solução temos que resolver a EDO, pra isso vamos primeiro substituir T m na nossa lei de resfriamento de Newton. Dessa forma:

d T d t = k ( T - T 2 - B T 1 - T )

d T d t = k ( T 1 + B - T 2 - B T 1 )

Vamos agora escrever a equação naquele formato pra resolução de equação separável. Passando tudo que é T para um lado e no outro o que é função do tempo ( t )

d T T 1 + B - T 2 - B T 1 = k d t

Vamos integrar ambos os lados e resolver cada uma das integrais indefinidas!

Passo 3

Resolvendo a equação da esquerda

∫ d T T 1 + B - T 2 - B T 1

Repara que T 1 e T 2 representam a temperatura inicial do corpo e do meio ambiente, respectivamente. Deste modo, esses valores são constantes. Deste modo, apenas o T é varíavel e o resto são constantes. Lembrando que,

∫ d x α x + β = ln ⁡ ( α x + β ) α

No caso da nossa integral teriamos,

α = 1 + B

β = - T 2 - B T 1

Substituindo:

∫ d T T 1 + B - T 2 - B T 1 = ln ⁡ T 1 + B - T 2 - B T 1 1 + B

Passo 4

Resolvendo o lado direito da igualdade temos.

∫ k d t = k t

Igualando as duas integrais que calculamos.

∫ d T T 1 + B - T 2 - B T 1 = ∫ k d t

ln ⁡ T 1 + B - T 2 - B T 1 1 + B =   k t + C

Essa constante C que a gente adicionou foi justamente pelas constantes das integrais indefinidas que nós não colocamos lá atrás. Para sumir com esse l n , vamos elevar tudo a e e depois isolar T . Após essa manipulação das equações teremos:

T = e 1 + B ( k t + C ) + T 2 + B T 1 1 + B

Você deve se lembrar daquela propriedade da exponencial que e b + a = e b e a . Vamos usar ela pra escrever essa nossa constante de uma forma mais bonita:

e 1 + B ( k t + C ) = e k t 1 + B + C 1 + B = e 1 + B k t e 1 + B C

T = e 1 + B k t e 1 + B C + T 2 + B T 1 1 + B

Chamando a constante e 1 + B C de D, temos:

T = D e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

Passo 5

No inicio do problema ele diz que a temperatura inicial é igual a T 1 . Com isso temos que T 0 = T 1 . Vamos usar essa informação pra achar a constante D .

T 0 = D e 1 + B k * 0 + T 2 + B T 1 1 + B = T 1

Como e 0 = 1 .

D + T 2 + B T 1 1 + B = T 1

D = T 1 - T 2

Substituindo D na nossa equação de T .

T = ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

Passo 6

b) A questão pede pra gente calcular o limite dessa função T que achamos na letra a quando t → ∞ . Vamos colocar a mão na massa.

lim t → ∞ ⁡ ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

Vamos relembrar que lim t → ∞ ⁡ e a t = 0   quando a < 0 . Dessa forma:

lim t → ∞ ⁡ ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t 1 + B = 0

lim t → ∞ ⁡ ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B = T 2 + B T 1 1 + B

Passo 7

c) A questão pede pra gente calcular o limite dessa função T m quando t → ∞ .

T m = T 2 + B T 1 - T

lim t → ∞ ⁡ T m = lim t → ∞ ⁡ T 2 + B T 1 - T

lim t → ∞ ⁡ T 2 + B T 1 - T = T 2 + B T 1 - B lim t → ∞ ⁡ T

Calculamos no item anterior que lim t → ∞ ⁡ T = T 2 + B T 1 1 + B .

lim t → ∞ ⁡ T m = T 2 + B T 1 - B T 2 + B T 1 1 + B = B T 1 + T 2 1 + B

Resposta

a)

T = ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

b)

T 2 + B T 1 1 + B

c)

B T 1 + T 2 1 + B

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