Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp129-7

Dois compostos químicos A e B são combinados para formar um terceiro composto C . A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de A e B não convertida em C . Inicialmente há 40 gramas de A e 50 gramas de B , e para cada grama de A ,   2 gramas de B são usados. É observado que 10 gramas de C são formados em 5 minutos. Qual é a quantidade remanescente de A e B depois de um longo período de tempo?

Passo 1

Pra resolvermos o que ele pergunta temos primeiro que chegar na equação da variação de C com o tempo, para isso temos que resolver a seguinte equação separável que nós já sabemos dos conhecimento sobre problemas de misturas.

A nossa formula é montada a partir da quantidade inicial dos reagentes que foi consumida pra formar o produto. A nossa reação nos diz que precisamos do dobro de b para cada quantidade de a

a + b = 1 a = 2 b

Resolvendo esse sistema

a = 2 3 ,     b = 1 3

Agora que sabemos disso vamos montar a nossa equação.

d C d t = k α - a C β - b C

d C d t = k 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos escrever essa equação naquele formato de resolução de equação separável que já estamos acostumados.

d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = k d t

Integrando o lado esquerdo temos. Para isso vamos utilizar aquele método manjado das frações parciais.

1 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = A 50 - 1 3 C + B 40 - 2 3 C

1 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = A 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C + B 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C

Cortando os denominadores e fazendo a distributiva:

1 = 40 A - 2 A C 3 + 50 B - B C 3

0 C + 1 = - 2 A C 3 - B C 3 C + 40 A + 50 B

Disso obtemos o sistema.

1 = 40 A + 50 B

0 = 2 A + B

Resolvendo temos A = - 1 60 e B = 1 30 .

Passo 3

Substituindo os valores encontrados de A e B

∫ d C 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = ∫ - 1 60 50 - 1 3 C d C + ∫ 1 30 40 - 2 3 C d C

Para resolver essa primeira integral do lado direito, podemos pensar em uma mudança de variável...

50 - 1 3 C = x       →

d x = - 1 3 d C         o u         d C = - 3 d x

Logo...

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = - 1 60 ∫ - 3 d x x + ∫ 1 30 40 - 2 3 C d C

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = 1 20 ln ⁡ x + ∫ 1 30 40 - 2 3 C d C

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = 1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C + ∫ 1 30 40 - 2 3 C d C

Como x = 50 - 1 3 C e também calculando a outra integral de forma análoga...

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = 1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C - 1 20 ln ⁡ 40 - 2 3 C

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = 1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C

Passo 4

Integrando o lado direito

∫ k d t = k t

Igualando os dois lados da equação vamos ter

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = ∫ k d t

1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C = k t + D

ln ⁡ 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C = 20 k t + 20 D

e 20 k t + D = 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C

Onde D é uma constante que colocamos para substituir as constantes das duas integrais indefinidas que deixamos sem para fins de facilitar os cálculos.

C = 120 e 20 k t + D - 150   2 e 20 k t + D - 1  

Trocando e 20 D por uma nova contante E para facilitar os cálculos

C = 120 E e 20 k t - 150   2 E e 20 k t - 1

Passo 5

No problema ele diz que após 5 minutos são formados 10 gramas de C e devemos assumir também que no tempo inicial a quantidade de C é zero. Logo:

C 0 = 1 20 E e 20 k * 0 - 150   2 E e 20 k * 0 - 1 = 120 E - 150 2 E - 1 = 0

Disso temos que E = 5 4

C = 150 e 20 k t - 150   5 2 e 20 k t - 1

Como C 5 = 10 :

C = 150 e 100 k - 150   5 2 e 100 k - 1 = 10

25 e 100 k - 10 = 150 e 100 k - 150

140 = 125 e 100 k

k ≅ 0,0011 ≅ 0

Passo 6

Sabemos que a quantidade de B e A para um t tendendo ao infinito será dada pela expressão abaixo.

B = 50 - 1 3 C

A = 40 - 2 3 C

Calculemos o limite de C quando t tende ao infinito.

lim t → ∞ ⁡ 150 e 20 k t - 150   5 2 e 20 k t - 1 = ∞ ∞

Aplicando a regra de L’Hospital

lim t → ∞ ⁡ C = lim t → ∞ ⁡ 3000 e 20 k t   50 e 20 k t = lim t → ∞ ⁡ 3000   50 = 60

Substituindo o valor nas expressões que temos.

B = 50 - 1 3 * 60 = 30

A = 40 - 2 3 * 60 = 0

Resposta

B = 30 ,             A = 0

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