Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp129-7

Dois compostos químicos A e B são combinados para formar um terceiro composto C . A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de A e B não convertida em C . Inicialmente há 40 gramas de A e 50 gramas de B , e para cada grama de A ,   2 gramas de B são usados. É observado que 10 gramas de C são formados em 5 minutos. Qual é a quantidade remanescente de A e B depois de um longo período de tempo?

Passo 1

Pra resolvermos o que ele pergunta temos primeiro que chegar na equação da variação de C com o tempo, para isso temos que resolver a seguinte equação separável que nós já sabemos dos conhecimento sobre problemas de misturas.

A nossa formula é montada a partir da quantidade inicial dos reagentes que foi consumida pra formar o produto. A nossa reação nos diz que precisamos do dobro de b para cada quantidade de a

a + b = 1 b = 2 a

Resolvendo esse sistema

a = 1 3 ,     b = 2 3

Agora que sabemos disso vamos montar a nossa equação.

d C d t = k α - a C β - b C

d C d t = k 40 - 1 3 C 50 - 2 3 C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos escrever essa equação naquele formato de resolução de equação separável que já estamos acostumados.

d C   40 - 1 3 C 50 - 2 3 C = k d t

Integrando o lado esquerdo temos. Para isso vamos utilizar aquele método manjado das frações parciais.

1 40 - 1 3 C 50 - 2 3 C = A 50 - 2 3 C + B 40 - 1 3 C

Disso obtemos o sistema.

1 = 40 A + 50 B

0 = A + 2 B

Resolvendo temos A = 2 30 e B = - 1 30 .

Passo 3

Substituindo os valores encontrados de A e B

∫ d C 40 - 1 3 C 50 - 2 3 C = ∫ 2 30 50 - 2 3 C d C + ∫ - 1 30 40 - 1 3 C d C

Para resolver essa primeira integral do lado direito, podemos pensar em uma mudança de variável...

50 - 2 3 C = x       →

d x = - 2 3 d C         o u         d C = - 3 d x 2

Logo...

∫ d C   50 - 2 C 40 - C = 2 30 ∫ - 3 d x 2 x + ∫ - 1 30 40 - 1 3 C d C

∫ d C   50 - 2 C 40 - C = - 1 1 0 ln ⁡ x + ∫ - 1 30 40 - 1 3 C d C

Como x = 50 - 2 3 C e também calculando a outra integral de forma análoga...

∫ d C   50 - 2 C 40 - C = - 1 10 ln ⁡ 50 - 2 3 C + 1 1 0 ln ⁡ 40 - 1 3 C

∫ d C   50 - 2 C 40 - C = 1 1 0 ln ⁡ 40 - 1 3 C 50 - 2 3 C

Passo 4

Integrando o lado direito

∫ k d t = k t

Igualando os dois lados da equação vamos ter

∫ d C   50 - 2 C 40 - C = ∫ k d t

1 10 ln ⁡ 40 - 1 3 C 50 - 2 3 C = k t + D

ln ⁡ 40 - 1 3 C 50 - 2 3 C = 10 k t + 10 D

e 10 k t + D = 40 - 1 3 C 50 - 2 3 C

Onde D é uma constante que colocamos para substituir as constantes das duas integrais indefinidas que deixamos sem para fins de facilitar os cálculos.

C = 1 50 e 1 0 k t + D - 120   2 e 1 0 k t + D - 1  

Trocando e 1 0 D por uma nova contante E para facilitar os cálculos

C = 1 50 E e 1 0 k t - 120   2 E e 1 0 k t - 1

Passo 5

No problema ele diz que após 5 minutos são formados 10 gramas de C e devemos assumir também que no tempo inicial a quantidade de C é zero. Logo:

C 0 = 1 50 E e 1 0 k * 0 - 120   2 E e 1 0 k * 0 - 1 = 1 50 E - 120 2 E - 1 = 0

Disso temos que E = 4 5

C = 120 e 10 k t - 120   8 5 e 10 k t - 1

Como C 5 = 10 :

C = 120 e 50 k - 120   8 5 e 50 k - 8 5 = 10

16 e 50 k - 16 = 120 e 50 k - 120

104 = 104 e 50 k

k ≅ 0

Passo 6

Sabemos que a quantidade de B e A para um t tendendo ao infinito será dada pela expressão abaixo.

B = 50 - 2 3 C

A = 40 - 1 3 C

Calculemos o limite de C quando t tende ao infinito.

lim t → ∞ ⁡ 120 e 10 k t - 120   8 5 e 10 k t - 1 = ∞ ∞

Aplicando a regra de L’Hospital

lim t → ∞ ⁡ C = lim t → ∞ ⁡ 1200 e 1 0 k t   16 e 1 0 k t = lim t → ∞ ⁡ 1200   16 = 7 5

Substituindo o valor nas expressões que temos.

B = 50 - 2 3 * 7 5 = 0

A = 40 - 1 3 * 7 5 = 15

Resposta

B = 0 ,             A = 15

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