Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G3 - 2015.1, Questão 3

A população mundial era de 5 bilhões em 1990 e de 6 bilhões em 2000 .

a Encontre um modelo exponencial para estes dados.

b Use o modelo encontrado para prever a população no ano de 2020 ( 30 anos depois).

c De acordo com o modelo encontrado, quando a população excederá 10 bilhões?

Passo 1

a Podemos aproximar um modelo populacional exponencial pela equação:

P t = P 0 . e k t

Onde P 0 é a população no instante t = 0 e k é uma constante qualquer e P t mede em bilhões de habitantes. Se assumirmos que o ano 1990 é o nosso ano t = 0 e 2000 o t = 10 , então as constantes serão:

P 0 = 5 = P 0 . e k 0 = P 0

P 10 = 6 = P 0 . e k 10 = 5 . e 10 k

6 5 = e 10 k → k = ln ⁡ 6 5 10

Assim, o modelo será:

P t = 5 e ln ⁡ 6 5 10 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Sendo 2020 o ano t = 2020 - 1990 = 30 , temos:

P 30 = 5 e ln ⁡ 6 5 10 30 = 5 e 3 ln ⁡ 6 5

= 5 e ln ⁡ 6 5 3 = 5 6 5 3

= 8,64

Passo 3

c Basta agora calcular quando a população será superior a 10 , ou seja:

P t ≥ 10

5 e ln ⁡ 6 5 10 t ≥ 10

e ln ⁡ 6 5 10 t ≥ 2

e ln ⁡ 6 5 t 10 ≥ e ln ⁡ 2

6 5 t 10 ≥ 2

t ≥ 10 log 6 / 5 ⁡ 2

t ≥ 10 ln ⁡ 2 ln ⁡ 6 5

Quer dizer, por mais estranho que pareça, que esse instante é no ano 1990 + 10 ln ⁡ 2 ln ⁡ 6 5 .

Resposta

a   P t = 5 e ln ⁡ 6 5 10 t

b   P 30 = 8,64

c   N o   a n o   1990 + 10 ln ⁡ 2 ln ⁡ 6 5

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