Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

Ver Teoria

Enunciado

Resolva a equação diferencial para r como função vetorial de t

d r d t = ( e t )   i   - ( 2 e 2 t ) j -   ( 3 e 3 t ) k

com a seguinte condição inicial:

r ( l n 3 ) = 3 i + j - 26 k

Passo 1

Fala aíí!! A questão está nos pedindo para resolver a equação diferencial, certo?

Olha só, no lado direito da equação diferencial, temos todos os termos em função de t , então a gente pode colocar o d t no lado direito e integrar dos dois lados, certo? Se eu faleo grego pra você, calma! Dá uma olhadinha aqui como vai ficar:

d r = ( e t d t )   i   - ( 2 e 2 t d t )   j - ( 3 e 3 t d t ) k

Só colocamos o d t pro outro lado, multiplicando os termos.

Agora, podemos integrar:

∫ d r = ( ∫ e t d t )   i   - ( ∫ 2 e 2 t d t )   j - ( ∫ 3 e 3 t d t ) k

E essa integral vai ficar:

r t = e t   i   - e 2 t   j - e 3 t k + C

Onde C é aquele constante que aparece quando a gente faz uma integração, beleza?

Bom, agora que já temos a nossa função, podemos usar a condição inicial que foi dada:

r ( ln ⁡ 3 ) = 3 i + j - 26 k

Vamos substituir t por ln ⁡ 3 na nossa função.

r ln ⁡ 3 = e ln ⁡ 3   i   - e 2 ln ⁡ 3   j - e 3 ln ⁡ 3 k + C

r ln ⁡ 3 = 3   i   - 9   j - 27 k + C

Bom, agora a gente iguala com a condição inicial e descobre quanto vale a constante C

3 i + j - 26 k = 3   i   - 9   j - 27 k + C → 10 j + k = C

Descobrimos quanto vale a nossa constante C = 10 j + k

Então, nossa função r ( t ) ficará:

r t = e t   i   - e 2 t   j - e 3 t k + C

r t = e t   i + 10 - e 2 t   j + 1 - e 3 t k + C

Questão resolvidaaaaa!!

Resposta

r t = e t   i + 10 - e 2 t   j + 1 - e 3 t k + C

Exercícios de Livros Relacionados

A matrícula em certa universidade vem crescendo a uma taxa de 1000 1 + t - 1 / 2 estudantes por ano desde 1985. Se a matrícula em 1988 foi de 10000:a)qual foi a matrícula em 1985
O volume de um balão está crescendo de acordo com a fórmula d V d t = t + 1 + 2 3 t , onde V em cm³ é o volume do balão em t s. Se V = 33 quando t = 3 , ache:b)O volume do balão em 8 s.
Em cada um dos problemas de 11 a 14, use o método de Euler para encontrar os valores aproximados do problema de valor inicial em t = 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5e3 .Com h = 0,1 .Com h = 0,05 . Com h = 0,02
Em cada um dos problemas de 11 a 14, use o método de Euler para encontrar os valores aproximados do problema de valor inicial em t = 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5e3 .Com h = 0,1 .Com h = 0,05 . Com h = 0,02
Uma bola começa a subir em um plano inclinado com uma velocidade inicial de 1,5 m/s. Se há uma aceleração para baixo de 1,2 m/s², até onde a bola subirá no plano antes de começar a descer?