Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de Cálculo Vol. 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, Pg 453exercício 6

A reta tangente ao gráfico de y = f ( x ) , no ponto ( x , y ) , intercepta o eixo y no ponto de ordenada x y . Determine f sabendo que f 1 = 1 .

Passo 1

Primeiro vamos interpretar o enunciado. Nesse caso, ele fala da reta tangente. Seja a equação da reta tangente, então:

y - y 0 = m x - x 0

Com a inclinação da reta igual a m e essa reta passa pelo ponto x 0 , y 0

Mas calma, nós sabemos a inclinação da reta tangente, não é mesmo?

Assim:

m =   y '

Agora vamos identificar o ponto x 0 , y 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ele fala que essa reta intercepta o eixo y no ponto x y , então podemos escrever:

x 0 = 0 y 0 = x y

Agora basta substituir na equação da reta tangente para resolvermos a EDO.

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

y - x y = y ' x - 0 ⟹ y - x y = y ' x

Essa é uma EDO separável, então vamos separar a equação e resolver.

y - x y = y ' x ⟹ y ' = y - x y x

Então:

1 y y ' = 1 - x x

Assim, podemos escrever:

1 y d y = 1 - x x d x

Integrando dos dois lados:

∫ 1 y d y = ∫ 1 - x x d x

Assim:

ln ⁡ | y | = ln ⁡ | x | - x + c

Assim, isolando y :

y = x ⋅ e c - x

Passo 4

Agora vamos encontrar o valor da constante, pois sabemos que:

f 1 = 1

Então:

1 = 1 ⋅ e c - 1

Logo:

c = 1

Assim, chegamos:

y = x e 1 - x

Resposta

y = x e 1 - x

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas