Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

Sabemos que, se y = u ( x ) uma solução particular da equação ordinária de 1 ª ordem:

d y d x = P x y 2 + Q x y + R x ,     ( 1 )

Então y x = u x + 1 v x é a solução geral, onde v x satisfaz a equação linear:

d v d x = - 2 P u + Q v - P ,     ( 2 )

( a ) Obtenha ( 2 ) a partir de ( 1 ) , supondo que u ( x ) satisfaz ( 1 ) .

( b ) Obtenha a solução geral da equação logística

d y d x = y - y 2

Sabendo que y x = 0 é uma solução particular. Use o resultado acima!

( c ) Determine os pontos de equilíbrio desta equação logística, e os classifique quanto a estabilidade.

Passo 1

( a ) Obtenha ( 2 ) a partir de ( 1 ) , supondo que u ( x ) satisfaz ( 1 ) .

Bom, vamos então começar com a primeira equação que foi dada:

y ' ( x ) = P x y 2 + Q x y + R x

Queremos dizer que y x = u x + 1 v x é solução geral dessa equação. Então temos que:

y x = u x + 1 v x

y ' ( x ) = u ' ( x ) - v ' ( x ) v 2 x

Agora, nós só temos que substituir na EDO ali em cima, lembrando que u ( x ) é solução da EDO também.

u ' x - v ' x v 2 x = P x u x + 1 v x 2 + Q x u x + 1 v x + R x

Passo 2

Ajeitando o lado direito dessa equação:

u ' x - v ' x v 2 x = P x u 2 x + 2 u x v x + 1 v 2 x + Q x u x + Q x v x + R x

u ' x - v ' x v 2 x = P x u 2 x + P x 2 u x v x + P x v 2 x + Q x u x + Q x v x + R x

Dá uma olhada nesses termos sublinhados:

u ' x _ - v ' x v 2 x = P x u 2 x + Q x u x + R x _ + P x 2 u x v x + P x v 2 x + Q x v x

Cara, como u ( x ) é solução, ele respeita aquela equação ( 1 ) , então nós podemos cortar esses termos sublinhados! Ficando com:

- v ' x v 2 x = P x 2 u x v x + P x v 2 x + Q x v x

Vamos ajeitar esses caras agora.

- v ' x = 2 P x u x v ( x ) + P ( x ) + Q x v ( x )

Colocando v em evidência:

- v ' x = 2 P u + Q v + P

Finalmente, trocando o sinal:

v ' x = - 2 P u + Q v - P

Passo 3

( b ) Obtenha a solução geral da equação logística

d y d x = y - y 2

Sabendo que y x = 0 é uma solução particular. Use o resultado acima!

Cara, vamos tentar comparar essa equação aqui com aquela ( 1 ) , ok?

y ' ( x ) = P x y 2 + Q x y + R x

Perceba que:

P x = - 1 Q x = 1 R x = 0 u x = 0

Passo 4

Agora, vamos dizer que y x = u x + 1 v x , como na letra ( a ) .

Então, no final das contas, queremos encontrar quem é esse v x , para descobrir quem é y x . A gente sabe que v respeita a seguinte equação:

d v d x = - 2 P u + Q v - P

Substituindo valores:

d v d x = - v + 1

∫ 1 1 - v d v = ∫ 1 d x

- ln ⁡ 1 - v = x + E

Vamos escrever isso bonitinho:

ln ⁡ 1 - v = - x + D

1 - v = e - x + D

v = 1 - e - x + D → v = 1 + C e - x

Então,

y x = u x + 1 v x → y x = 1 1 + C e - x

Passo 5

( c ) Determine os pontos de equilíbrio desta equação logística, e os classifique quanto a estabilidade.

Para começar, precisamos ver em quais pontos y ' = 0 :

d y d x = y - y 2

0 = y - y 2

y 1 - y = 0

y = 0   o u   y = 1

Passo 6

Agora a gente analisa o sinal da segunda derivada:

d 2 y d x 2 = 1 - 2 y

Para y = 0 :

1 - 2.0 = 1

Como a segunda derivada é maior que zero, esse é um ponto de equilíbrio instável.

Para y = 1 :

1 - 2 . 1 = - 1

Como a segunda derivada é menor que zero, esse é um ponto de equilíbrio estável.

Resposta

( b ) y x = 1 1 + C e - x

( c ) y = 0 → e q u i l í b r i o   i n s t á v e l ; y = 1 → e q u i l í b r i o   e s t á v e l

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