Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pg 37-29

Suponha que um foguete é projetado da superfície da Terra diretamente para cima com velocidade inicial v 0 = 2 g R , onde R é o raio da Terra. Despreze a resistência do ar.

  1. Encontre uma fórmula para a velocidade v em função da distância x à superfície da Terra.
  2. Encontre o tempo necessário para o foguete percorrer 240.000 milhas(a distância aproximada da Terra à Lua). Suponha que R = 4000 milhas

Passo 1

a) Pra acharmos a fórmula que o problema pede vamos ter que lembrar dos nossos conhecimentos de física. Dessa forma, num movimento desacelerado sobre o efeito somente da gravidade teremos.

m d v d t = - G m M R + x 2  

Onde G é a constante universal gravitacional, m é a massa do foguete e M a massa da terra!

No entanto, nós sabemos que d v d t = v d v d x e que g = G M R 2 . Substituindo isso na nossa equação e cortando o m .

v d v d x = - g R 2 R + x 2

Vamos passar essa equação para a forma que estamos acostumados? Partiu...

d v d x = - g R 2 v R + x 2

Que tipo de EDO é essa? Isso mesmo, separável. Basta fazer

f v = 1 v

g x = - g R 2 R + x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos colocar a mão na massa e resolver essa equação diferencial.

∫ v d v = ∫ - g R 2 R + x 2 d x

Integrando o lado esquerdo da equação.

∫ v d v = v 2 2

Integrando o lado direito.

∫ - g R 2 R + x 2 d x = ∫ - g R 2 R + x - 2 d x = g R 2 R + x

Igualando os dois lados e lembrando de somar uma contante C para compensar essas integrais indefinidas que nós fizemos.

v 2 2 = g R 2 R + x + C

Passo 3

Substituindo o valor Inicial que ele deu v 0 = 2 g R

2 g R 2 2 = g R 2 R + C

C = 2 g R 2 - g R = 0

Substituindo o valor de C na equação que encontramos antes e manipulando um pouco teremos.

v = R 2 g R + x

Passo 4

b)Lembrando que v = d x d t . Temos que para encontrar o tempo necessário pro foguete atingir 240.000 milhas devemos resolver a seguinte EDO.

d x d t = R 2 g R + x

Colocando na forma característica de resolução de equação separável.

R + x d x = R 2 g d t

Passo 5

Integrando o lado esquerdo da equação.

∫ R + x d x = 2 3 R + x 3 2

Integrando o lado direito da equação.

∫ R 2 g d t = R 2 g t

Igualando os dois lados e lembrando de somar uma contante D para compensar essas integrais indefinidas que nós fizemos.

2 3 R + x 3 2 = R 2 g t + D

Passo 6

Usando o fato que x 0 = 0 , ou seja, que no momento inicial a distancia da superfície é zero, temos.

2 3 R + 0 3 2 = R 2 g * 0 + D

D = 2 3 R 3 2

Manipulando pra escrever a equação de t em função de   x .

t ( x ) = 2 3 R + x 3 2 - 2 3 R 3 2 R 2 g

Convertendo milhas prar metros, R = 6437376 m e d = 386242560 e utilizando g = 10 m / s 2 .

t d = 2 3 392679936 3 2 - 2 3 6437376 3 2 6437376 20 ≅ 50,6 h

Resposta

a)

v = R 2 g R + x

b)

t d = 50,6 h

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