Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

UFRJ, Cálculo 2, P1 2009.2, Questão 1

Suponha que no instante t = 0 , a metade de uma população de 100.000 coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de 1000 coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados, determine o tempo que levará para que o vírus se espalhe por 80 % da população.

Passo 1

Formulação do problema:

Chamemos de Q ( t ) a quantidade de coelhos infectados e P = 100.000 a população total de coelhos.

A taxa com que o vírus se espalha é a taxa com que coelhos são infectados.

Portanto:

Q ' ( t ) = k Q ( P - Q )

Onde k é uma constante.

O problema diz que a taxa inicial é 1000 coelhos por dia.

Logo:

Q ' 0 = 1000

E também diz que metade da população está infectada inicialmente.

Então:

Q 0 = P 2

Agora temos um PVI:

Q ' t = k Q P - Q   Q ' 0 = 1000   Q 0 = P 2

Queremos descobrir o tempo T para o qual:

Q T = 0,8 P

Ou seja, em que tempo a quantidade de coelhos infectados é igual a 80 % da população total.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como Q ' ( 0 ) e Q ( 0 ) são conhecidos, podemos calcular a constante k substituindo na EDO:

Q ' 0 = 1000

Q ' t = k Q P - Q

Q ' 0 = k Q 0 P - Q 0

1000 = k 50.000 100.000 - 50.000

1 = k 50.000 50

k = 4 10 - 7

Passo 3

Encontrar solução geral:

Colocar a derivada na forma d Q d t em vez de Q ' ( t ) e escrever apenas Q em vez de Q ( t ) :

d Q d t = k Q ( P - Q )

Passo 4

Isolar o termo d Q d t de um lado da equação e o resto do outro:

Já está!

Passo 5

Multiplicar cruzado:

d Q = k Q P - Q   d t

Passo 6

Separar tudo que tem t para o lado do d t e tudo que tem Q para o lado do d Q :

d Q Q P - Q = k   d t

Como jogamos o termo Q ( P - Q ) para o denominador, temos que dizer que é diferente de zero:

Q P - Q = 0

Q { 0 ,   P }

Passo 7

Integrar os dois lados:

d Q Q P - Q = k   d t

Para integrar o lado esquerdo da equação, precisamos desmembrar em frações parciais:

1 Q P - Q = A Q + B P - Q

1 Q P - Q = A ( P - Q ) + B Q Q ( P - Q )

1 Q P - Q = - A + B Q + A P Q ( P - Q )

Igualando os numeradores temos que

- A + B = 0 A P = 1

Logo:

A = 1 P   B = 1 P

Substituindo:

1 Q ( P - Q ) = 1 P Q + 1 P P - Q

1 Q ( P - Q ) = 1 P 1 Q + 1 P - Q

Logo:

  d Q Q ( P - Q ) = 1 P 1 Q + 1 P - Q d Q = 1 P d Q Q + d Q P - Q

Substituindo na primeira equação:

1 P d Q Q + d Q P - Q = k   d t

d Q Q + d Q P - Q = P k   d t

A primeira e a última integral são tranquilas:

ln Q + d Q P - Q = P k t + c

Nessa integral daí, podemos resolver por uma mudança de variável:

P - Q = x

Derivando dos dois lados (levando em consideração que P é constante) temos:

d x = - d Q           o u           d Q = - d x

Logo...

ln Q + - d x x = P k t + c  

ln Q - ln x = P k t + c  

Como x = P - Q ...

ln Q - ln P - Q = P k t + c

Lembrando que ln a - ln b = ln a b :

ln Q P - Q = P k t + c

Passo 8

Se necessário, isolar Q ( t ) :

Como apareceu um ln   , vamos aplicar a exponencial nos dois lados:

e ln Q P - Q = e P k t + c

Q P - Q = e c e P k t

Q P - Q = ± e c e P k t

Substituindo a = ± e c :

Q P - Q = a e P k t

Q = a P e P k t - a Q e P k t

Q 1 + a e P k t = a P e P k t

Q t = a P e P k t 1 + a e P k t

Passo 9

Resolver o PVI:

Q 0 = P 2

Substituindo t = 0 na solução geral:

Q ( 0 ) = a P e 0 1 + a e 0

Q 0 = a P 1 + a

Substituindo condição inicial:

P 2 = a P 1 + a

a 1 + a = 1 2

2 a = 1 + a

a = 1

Substituindo valor da constante na solução geral:

Q t = P e P k t 1 + e P k t

Passo 10

Encontrar T tal que Q T = 0,8 P :

Basta substituir Q = 0,8 P para encontrar T correspondente:

Q T = P e P k T 1 + e P k T = 0,8 P

e P k T 1 + e P k T = 0,8

e P k T = 0,8 + 0,8 e P k T

0,2 e P k T = 0,8

e P k T = 4

P k T = ln 4

Substituindo valores de P e k :

100000 4 10 - 7 T = ln 4

T = 25 ln 4

Resposta

T = 25 ln 4

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