Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

Suponha que a taxa de crescimento de uma certa população varia com o tempo, e que o número de indivíduos y ( t ) da mesma no instante t satisfaz a equação diferencial:

d y d t = 0,5 + t y t 5

i) Se y 0 = 1 encontre(ou estime) o instante t no qual a população dobra.

Determine se o tempo t no qual o número de indivíduos dobra dependa da população inicial.

ii) Suponha que a parcela t na equação diferencial é substituída por 2 π t , isto é, a variação na taxa de crescimento tem uma frequência substancialmente maior. Qual é o efeito dessa mudança no tempo de duplicação da população ?

Passo 1

i) Bom, a EDO

d y d t = 0,5 + t y t 5

É separável, já que

d y d t = 0,5 + t y t 5 ⇒ d y y t = 0,5 + t 5 d t

Integrando ambos os lados, ficamos com

∫ d y y = ∫ 1 10 + t 5 d t

ln ⁡ y = t 10 + t 2 10 + C

y = C e t 10 + t 2 10

y t = ± C e t 10 + t 2 10

Passo 2

Como a condição inicial é y 0 = 1 temos que

y 0 = C = 1

Então,

y t = e t 10 + t 2 10

O instante s no qual a população dobre é dado por

y s = 2 = e 1 10 s + s 2

Então

1 10 s + s 2 = ln ⁡ 2

s 2 + s - 10 ln ⁡ 2 = 0

s = - 1 ± 1 + 40 ln ⁡ 2 2  

Pegando só a raiz positiva já que não podemos ter tempo negativo e ficamos com

s = - 1 + 1 + 40 ln ⁡ 2 2  

Que representa o tempo no qual a população dobra.

Passo 3

Suponha que a população inicial é dada por

y 0 = C > 0

Então, se s c é o tempo que a população dobra então

y s c = 2 y 0 = 2 C = C e t 10 + t 2 10

O que implica que

2 = e t 10 + t 2 10

E portanto, s c = s não depende de C .

Passo 4

ii) Ao fazer a substituição t → 2 π t temos que

d y d t = 0,5 + 2 π t y t 5

E portanto,

y t = C e t 10 + 2 π t 2 10

E o tempo de duplicação fica

s ' = - 1 2 π + 1 + 40 2 π ln ⁡ 2 2 <   - 1 + 1 + 40 ln ⁡ 2 2 = s

Portanto o tempo de duplicação diminui.

Resposta

i)

s = - 1 + 1 + 40 ln ⁡ 2 2  

Não depende de C .

ii)

O tempo de duplicação diminui.

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