Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

Um bloco de inércia m 1 = 2,00   k g e um bloco de inércia m 2 = 6,00   k g são conectados por uma corda com inércia desprezível sobre uma polia em forma de um disco sólido com raio R = 0,250   m e inércia M = 10,0   k g . A rampa faz um ângulo de θ = 30,0 ° . O coeficiente de atrito cinético é 0,360 para ambos os blocos. Use g = 9,8   m / s 2 .

a) Desenha diagramas de corpo livre para o bloco 2 e o diagrama de corpo livre estendido para a polia.

b) Determine a aceleração dos dois blocos.

c) Calcule as tensões na corda, T 1 presa no bloco 1 e T 2 presa no bloco 2.

d) Qual a aceleração angular da polia?

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Partiu resolver esse problema sobre bloquinhos?

O primeiro passo é desenhar as forças que agem em cada bloco:

No bloco 1, temos o peso, normal, força de tração T 1 e atrito F a t 1 contrária ao movimento. No corpo 2, temos o peso, normal, atrito e tração. Já na polia, temos as duas trações T 1 e T 2 .

Passo 2

Vamos escrever as equações de movimento para cada corpo. No corpo 1, temos

P 1 = N 1 → N 1 = m 1 g

T 1 - F a t 1 = m 1 a 1

Como F a t 1 = μ N 1 , segue que

T 1 - μ m 1 g = m 1 a 1

Guarde essa equação!

No corpo 2, temos que decompor o peso, de modo que

N 2 = P 2 cos ⁡ θ = m 2 g cos ⁡ θ

P 2   s e n   θ - T 2 - F a t 2 = m 2 a 2

Como F a t 2 = μ N 2 = μ m 2 g cos ⁡ θ , segue que

m 2 g   s e n   θ - T 2 - μ m 2 g cos ⁡ θ = m 2 a 2

Agora vem um ponto importante: considerando o fio inextensível, devemos ter a 1 = a 2 = a , de modo que

T 1 - μ m 1 g = m 1 a m 2 g   s e n   θ - T 2 - μ m 2 g cos ⁡ θ = m 2 a

Vamos substituir todos os valores:

T 1 - 0,360 ⋅ 2,00 ⋅ 9,8 = 2,00 ⋅ a 6,00 ⋅ 9,8 ⋅ 1 2 - T 2 - 0,360 ⋅ 6,00 ⋅ 9,8 ⋅ 3 2 = 6,00 ⋅ a

Logo,

T 1 - 7,056 = 2 a 29,4 - T 2 - 18,332 = 6 a

Repare que temos um problema: são duas equações para três incógnitas. Como resolver esse problema?

Passo 3

Temos que olhar para a polia! O torque sobre ela é

τ = T 2 R - T 1 R = T 2 - T 1 R

Por outro lado, a segunda lei de Newton para rotação nos diz que

τ = I α

Logo,

I α = T 2 - T 1 R

O momento de inércia do disco é

I = 1 2 M R 2

Já a aceleração angular se relaciona com a linear por

α = a R

Desta forma,

1 2 M R 2 ⋅ a R = T 2 - T 1 R → T 2 - T 1 = M a 2

Essa era a equação que faltava:

T 2 - T 1 = 10,0 ⋅ a 2 → T 2 - T 1 = 5 a

Logo,

T 1 - 7,056 = 2 a 29,4 - T 2 - 18,332 = 6 a T 2 - T 1 = 5 a

Somando as três equações:

29,4 - 7,056 - 18,332 = 13 a

a = 4,012 13 → a = 0,309   m / s 2

Passo 4

Para achar as trações, é só voltar no sistema:

T 1 = 2 a + 7,056 = 2 ⋅ 0,309 + 7,056

T 1 = 7,674   N

Com isso,

T 1 = 5 a + T 1 = 5 ⋅ 0,309 + 7,674

T 2 = 9,219   N

Já para encontrar a aceleração angular da polia, basta fazer

α = a R = 0,309 0,250

Portanto,

α = 1,236   r a d / s 2

Com isso a gente termina o problema 😊!

Resposta

a = 0,309   m / s 2

T 1 = 7,674   N             e             T 2 = 9,219   N

α = 1,236   r a d / s 2

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