Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

Um fio inextensível de massa desprezível é enrolado diversas vezes em torno da periferia de um cilindro maciço de raio R 2 , segue horizontalmente até a periferia de outro cilindro de raio R 1 , pela qual passa e segue verticalmente, até sua extremidade, na qual está suspenso um bloco de massa m . Os cilindros, cada um também de massa m , são homogêneos e podem girar sem atrito, cada um em torno de seu eixo fixo. O bloco desce verticalmente puxando o fio que fica tenso e faz os cilindros girarem, sem deslizar sobre suas periferias. (O momento de inércia de um cilindro homogêneo de massa M e raio R relativo ao seu eixo é M R 2 / 2 )

  1. Faça um diagrama das forças externas que agem sobre o cilindro de raio R 1
  2. Calcule o módulo da aceleração com que desce o bloco.
  3. Obtenha o módulo da aceleração angular de cada cilindro.
  4. Calcule o módulo da tensão no trecho vertical do fio e o módulo da tensão no trecho horizontal do fio.

Passo 1

a)

O DCL do cilindro de raio R 1 fica

As forças em azul são a reação horizontal e vertical do pino que prende o cilindro.

Passo 2

b)

Vamos agora fazer o DCL do bloco

Considerando que o bloco está caindo, e sendo a o módulo da sua aceleração

T 1 - P = - m a

m g - T 1 = m a

Passo 3

Vamos agora fazer o equilíbrio da rotação no disco de raio R 1 , como o disco roda no sentido anti-horário

∑ τ = I 1 α 1

∑ τ = T 1 ⋅ R 1 - T 2 ⋅ R 1

Isso porque a tração 1 faz girar no sentido anti-horário e a tração 2 faz girar no sentido horário.

O momento de inércia do cilindro é

I 1 = m R 1 2 2

Além disso

a = α 1 ⋅ R 1

Juntando tudo

T 1 R 1 - T 2 R 1 = m R 1 2 2 ⋅ a R 1

T 1 - T 2 = m a 2

Passo 4

Agora no cilindro de raio R 2 a única força que faz torque é a tração

Dessa força, como ele gira no sentido anti-horário

∑ τ = I 2 α 2

∑ τ = T 2 ⋅ R 2

O momento de inércia do cilindro é

I 2 = m R 2 2 2

Além disso

a = α 2 ⋅ R 2

Juntando tudo

T 2 R 2 = m R 2 2 2 ⋅ a R 2

T 2 = m a 2

Passo 5

Vamos ter o seguinte sistema

m g - T 1 = m a T 1 - T 2 = m a 2 T 2 = m a 2

Somando essas equações

m g - T 1 + T 1 - T 2 + T 2 = m a + m a 2 + m a 2

m g = 2 m a

a = g 2

Passo 6

c)

Já vimos nos outros passos que

a = α 1 R 1

E

a = α 2 R 2

Então

α 1 = g / 2 R 1 = g 2 R 1

E

α 2 = g / 2 R 2 = g 2 R 2

Passo 7

d)

As trações vão ser

T 2 = T h o r i z o n t a l = m a 2

T h o r i z o n t a l = m g / 2 2 = m g 4

Passo 8

E

T 1 - T 2 = m a 2

T 1 - m g 4 = m g / 2 2

T 1 = m g 4 + m g 4

T 1 = T v e r t i c a l = m g 2

Resposta

a)

b) a = g 2

c) α 1 = g 2 R 1

                        α 2 = g 2 R 2

d) T h o r i z o n t a l = m g 4

T v e r t i c a l = m g 2

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