Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

Um cabo ideal está enrolado em volta de uma polia de raio R = 20   c m e massa M = 1,0   k g   e tem sua outra extremidade ligada a um bloco de m = 2,0   k g . O bloco se encontra apoiado sobre um plano inclinado de 30 ° em relação a horizontal. O sistema é solto a partir do repouso. Não existe atrito entre o plano e o bloco. Considerando o momento de inércia da polia I = M   .   R 2 2 calcule:

a ) A aceleração angular da polia.

b ) a tração no cabo e o torque na polia.

c ) O módulo da aceleração linear a de um ponto na borda na polia após 0,5   s de iniciado o movimento.

Passo 1

a )

Para descobrir a aceleração angular da polia, devemos utilizar a fórmula do torque, onde τ = I   .   α mas precisamos de mais uma equação. Como existe um vínculo entre os dois corpos, podemos também usar F = m   .   a , pois sabemos que a =   α   .   R . Se liga nas equações:

τ = I   .   α

T . R = M   .   R 2 2   . a R

T = M . a 2

Passo 2

Agora que já temos T em função de a , vamos à equação para o bloco:

m . g . sen ⁡ θ -   T = m   .   a

Substituindo T   na equação, temos:

m . g . sen ⁡ θ - M . a 2 = m   .   a

a = m . g . sen ⁡ 30 ° m + M 2

a = 4,0   m / s 2

A aceleração angular fica:

α = a R

α = 20,0   r a d / s 2

Passo 3

b )

Ahh...fazer esse item ficou fácil depois de ter feito o anterior! Queremos saber a tração T , que a gente ja deixou em função de M e de a , lembra?!

T = M . a 2

Agora que a gente já tem o valor de a , ficou fácil!

T = 1,0   .   4,0 2

T = 2,0   N

O torque na polia podemos calcular da seguinte maneira:

τ = T R

τ = 2,0   .   0,2

τ = 0,4   N . m

Passo 4

c )  

Para achar a aceleração linear, temos que achar a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta, que são as componentes da aceleração linear. Lembra?! Vamos começar pela tangencial, a gente já calculou no item a , mas vamos lá!

a t =   α   . R

a t = 4 m / s 2

Agora a centrípeta:

Sabemos que depois de 0,5   s , temos:

ω = α   .   t

ω = 20,0   .   0,5

ω = 10

Então a aceleração centrípeta fica:

a c p = ω 2   .   R

a c p = 100   .   0,20

a c p = 20 m / s 2

Passo 5

Agora que temos a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta, basta fazer aquele Pitágoras básico para achar a aceleração linear! Olha só!

a = a c p 2 + a t 2

a = 20 2 + 4,0 2

a = 20,4   m / s 2

Essa foi moleza!

Resposta

a )   α = 20,0   r a d / s 2

b )   T = 2,0   N , τ = 0,4   N   .     m

c )   a = 20,4   m / s 2

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