Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

Na figura, um fio sem massa e inextensível passa sem escorregar ao redor da polia. Numa extremidade do fio é pendurado um bloco de massa m2 = 500 g, na outra, um bloco de massa m1 = 400 g, e a polia, que é um disco homogêneo montado num eixo horizontal sem atrito, tem um raio de 5,00 cm. Quando o sistema é abandonado a partir do repouso, o bloco de massa maior cai 75,0 cm e adquire uma velocidade linear de 30,0 cm/s.

a) Faça os diagramas de força para cada bloco e polia.

b) Utilizando a conservação de energia mecânica determine a inércia rotacional da polia.

c) Determine o módulo e sentido da aceleração angular da polia.

d) Determine as tensões no fio e o vetor reação do eixo de rotação sobre a polia.

e) Qual é o vetor torque resultante em torno do eixo de rotação ? Faça dois cálculos, um utilizando a equação r → x   F → e outro I α .

f) Qual a força de atrito entre a corda e a polia?

Passo 1

Bom, questão de polia não-ideal!!

Vamos começar pela letra a), que é fazer o diagrama do corpo livre para os corpos dos sistema. Vai ficar assim para os blocos:

Repara que como a polia não é ideal, teremos trações diferentes para cada bloco. O DCL da polia vai ficar assim:

A força no eixo, é a força que o eixo da polia realiza para que ela não caia. Afinal a polia ela vai apenas rotacionar ao redor do eixo, dessa forma é necessário uma força de reação sobre o eixo.

Passo 2

A letra b), nos pede para encontrar qual é a inércia da polia e para fazer isso através da conservação de energia. Bom, vamos então montar um desenho com antes e depois do movimento para depois conservamos a energia mecânica.

Antes dos blocos se moverem, quando o sistema é solto a partir do repouso, temos a seguinte configuração:

Você pode escolher qualquer nível de referência para os blocos. E eles não precisam ser os mesmos para os dois blocos, mas precisam ser os mesmo entre o início e fim!!

Eu escolhi os níveis de referência sempre na posição mais baixa que o bloco irá atingir. Agora, olhando para o final do movimento, teremos:

Vamos então conservar a energia mecânica.

E i = E f

K T i + K R i + U G i = K T f + K R f + U G f

0 + 0 + M 2 g h 2 = M 1 v 1 2 2 + M 2 v 2 2 2 + I ω 2 2 + M 1 g h 1

Daonde sabemos que h 1 e h 2 são a distância que os blocos percorreram, que é a mesma e vale 75cm.

Além disso, as velocidades dos blocos é a mesma, afinal eles fazem parte do mesmo sistema.

v 1 = v 2 = v

E olhando para a velocidade angular da polia, podemos relaciona-la com a velocidade em sua extremidade, que é a mesma velocidade que os blocos pela relação:

v = ω R

ω = v R

Substituindo tudo, teremos:

M 2 g h = M 1 v 2 2 + M 2 v 2 2 + I v 2 R 2 2 + M 1 g h

0,5 * 9,8 * 0,75 = 0,4 * 0,3 2 2 + 0,5 * 0,3 2 2 + I * 0,3 2 0,05 2 * 2 + 0,4 * 9,8 * 0,75

I = 0,0386 k g m 2

Passo 3

Agora, na letra c), nos pede para encontrar o módulo e a direção da aceleração angular da polia. Chegou a hora de olhar para as forças nesse sistema, e resolver as segundas leis de newton.

Lembra os diagramas do corpo livre que a gente fez, vamos reutiliza-los, mas indicando a direção da aceleração.

Considerando o sentido da aceleração de cada bloco como o sentido positivo para as suas forças, podemos calcular a segunda lei de newton para cada um deles.

T 1 - P 1 = M 1 a 1

T 1 = M 1 a 1 + M 1 g

P 2 - T 2 = M 2 a 2

T 2 = M 2 g - M 2 a 2

Aaaa, não vamos esquecer que esses blocos pertencem a um sistema preso por uma corda, e eles se movimentam juntos, logo

a 1 = a 2 = a

Agora para finalizar, vamos ver o DCL da polia:

Para a polia, nós faremos a segunda lei de newton para a rotação (afinal, ela só vai rotacionar né). Para isso vamos avaliar os torques em relação ao eixo de rotação e os torques na direção da aceleração angular serão positivos.

- T 1 R + T 2 R = I α

Substituindo os valores das trações que encontramos, vai ficar:

- M 1 a R - M 1 g R + M 2 g R - M 2 a R = I α

Agora, é só lembrar que a aceleração angular da polia tem relação com a aceleração na sua extremidade (que é igual a aceleração dos blocos).

a = α R

Substituindo, vai ficar assim.

- M 1 α R 2 - M 1 g R + M 2 g R - M 2 α R = I α

- 0,4 α 0,05 2 - 0,4 * 9,8 * 0,05 + 0,5 * 9,8 * 0,05 - 0,5 α 0,05 2 = 0,0386 α

α 0,0386 + 0,001 + 0,00125 = 0,245 - 0,196

α = 1,2 r a d / s 2

O sentido da aceleração já tá indicado no desenho com o diagrama do corpo livre da polia.

Passo 4

A letra d), nos pede o valor das tensões no fio e o valor da força de reação sobre o eixo da polia. Para encontrar as tensões é só substituir o valor da aceleração angular nas fórmulas que encontramos no passo 3.

T 1 = M 1 a + M 1 g = M 1 α R + M 1 g

T 1 = 0,4 * 1,2 * 0,05 + 0,4 * 9,8 = 3,94 N

T 2 = M 2 g - M 2 a = M 2 g - M 2 α R

T 2 = 0,5 * 9,8 - 0,5 * 1,2 * 0,05 = 4,87 N

Agora, para encontrar o valor da força de reação sobre o eixo da polia, nós iremos olhar para o DCL da polia lembrando que a polia apenas rotaciona, não translada. Por tanto, sua aceleração é 0 e com isso a força resultante também é:

F e i x o = T 1 + T 2 + P

Precisamos encontrar o valor do peso da polia. Para isso, precisamos saber a sua massa.

Uma polia é um disco que rotacional ao redor do eixo que passa pelo seu centro de massa. O momento de inércia de um disco é tabelado e dado por:

I = M R 2 2

Assim, conseguimos encontrar a sua massa:

0,0386 = M 0,05 2 2

M = 30,9 k g

Com isso, encontramos a força de reação sobre o eixo como sendo:

F e i x o = 3,94 + 4,87 + 30,9 * 9,8 = 311,63 N

Passo 5

A letra e) pede para encontrar o torque resultante sobre o eixo da polia. Primeiro através de τ = r → x F → .

Como a força é perpendicular ao raio, o módulo do torque resultante será dado por:

τ R = T 2 R - T 1 R

τ R = 4,87 * 0,05 - 3,94 * 0,05 = 0,0465 N m

E depois através de τ R = I α .

τ R = 0,0386 * 1,2 = 0,0463 N m

Os dois valores deveriam ser iguais. A pequena variação nos valores ocorreu por conta de aproximações.

Passo 6

A letra f) pergunta sobre a força de atrito entre a corda e a polia.Na questão nos diz que a polia não tem atrito com o eixo. E isso ocorre para que não haja um torque contrário ao torque causado pelas trações.

Agora, entre a corda e a polia, a força de atrito entre eles, é a própria força de tração que faz com que a polia rotacione. Pensa comigo, se você coloca óleo em uma polia, a corda desliza sobre ela, né. Isso acontece por que você está tirando o atrito entre a corda e a polia e assim a polia não "sente” a tração da corda.

Resposta

b)

I = 0,0386 k g m 2

c)

α = 1,2 r a d / s 2

Sentido entrando na página (horário).

d)

T 1 = 3,94 N

T 2 = 4,87 N

F e i x o = 311,63 N

e)

τ R = 0,0463 N m

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