Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

(Capítulo 9.1 – Exercício 71) O sistema mostrado na figura consiste em um bloco de 4,0 k g colocado sobre uma prateleira horizontal sem atrito. Este bloco está preso a um cordão que passa por uma polia e tem sua outra extremida presa a um bloco pendente 2,0 k g . A polia é um disco uniforme de 8,0 c m de raio e 0,60 k g de massa. Determine a aceleração de cada bloco e as tensões no cordão.

Passo 1

Oláaa, querido! Tá bem?

Ele quer as tensões na corda e a aceleração dos blocos. A aceleração vai ser a mesma para os dois blocos, porque eles estão ligados pela corda e ela não pode arrebentar ou ficar frouxa.

Já a tensão vai ser diferente para cada extremidade porque a gente vai considerar a massa da polia.

E como a gente quer achar forças e aceleração, podemos aplicar a segunda lei de Newton para cada objeto do sistema para encontrar as equações que descrevem o movimento dos blocos.

E se tem segunda lei de Newton na história, precisamos fazer o diagrama do corpo livre para cada objeto. Ficam assim:

Colocamos o x positivo no sentido da aceleração.

Então boraaa

Passo 2

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para o bloco de massa M = 4   k g .

No eixo x vamos ter:

∑ F x = M a x

A aceleração nessa direção é a aceleração que a gente quer descobrir, então a x = 0 . E nessa direção só temos T 1 . Logo a segunda lei de Newton fica:

T 1 = M a   i i

Passo 3

Agora vamos olhar para o bloco de massa m = 2   k g . Só temos forças na direção x :

∑ F x = m a x

Aí temos a x = a . Substituindo isso e as forças com seus devidos sinais representando seus sentidos em relação ao nosso referencial:

F g m - T 2 = m a

Sendo que F g m = m g :

m g - T 2 = m a

T 2 = m g - a     i i i

Passo 4

Quase lá, bora!

Só falta aplicar a segunda lei de Newton na polia. Mas repara que a gente não colocou eixos x e y nela. É porque a polia está girando, então a gente vai aplicar a segunda lei de Newton para a rotação. O sentido positivo é o sentido da aceleração angular α representada.

Temos que a segunda lei de Newton para rotação é

∑ τ = I p α

Os torques causados pelas tensões sobre a polia vão ser o produto entre a tensão e o raio da polia, já que o eixo de rotação é o centro dela. Então temos:

T 2 R - T 1 R = I p α

Repara que T 2 gera torque no sentido de α , por isso ele fica positivo e T 1 (que gera torque no sentido contrário) fica negativo.

Esse I p é o momento de inércia da polia. Ela é basicamente um disco de raio R e massa m p . O momento de inércia de um disco em relação a um eixo que passa pelo seu centro é

I p = m p R 2 2

Substituindo na nossa equação:

T 2 R - T 1 R = I p α

T 2 - T 1 R = m p R 2 2 α

E essa aceleração angular pode ser reescrita em função da aceleração linear a borda do disco usando essa expressão:

a = R α → α = a R

Nossa equação fica:

T 2 - T 1 R = m p R 2 2 a R

T 2 - T 1 = m p a 2       i v

Passo 5

Agora é relacionar as equações que a gente achou para achar expressões para T 1 , T 2 e a .:

T 1 = M a   i i

T 2 = m g - a     i i i

T 2 - T 1 = m p a 2       i v

Vamos substituir i i e i i i em i v :

m g - a - M a = 1 2 m p a

Isolando a

a = m g M + m + m p 2

Substituindo valores numéricos:

a = 2 × 9.81 2 + 4 + 0.6 2

a = 3.11 m s 2

Passo 6

Com o valor de a , a gente pode voltar em i i e i i i e achar nossas tensões.

Temos:

a = 3.11 m s 2

Então a tensão 1 fica:

T 1 = M a   i i

T 1 = 4 3,11

T 1 = 12.44   N

E a tensão 2:

T 2 = m g - a     i i i

T 2 = 2 9.81 - 3,11

T 2 = 13.20   N

E é issooo

Resposta

a = 3.11 m s 2

T 1 = 12.44 N

T 2 = 13.20 N

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